📌 문제 이해하기
다항식
\[ (2x – y)^3 – (x – 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \]을 전개한 후,
\[ ax^3 + bx^2y + cxy^2 + dy^3 \]의 꼴로 정리했을 때, 상수 \( a, b, c, d \)에 대해 \( a – b – c – d \)의 값을 묻는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] \( (2x – y)^3 \) 전개
\[ (2x – y)^3 = (2x)^3 – 3(2x)^2y + 3(2x)y^2 – y^3 = 8x^3 – 12x^2y + 6xy^2 – y^3 \][Step 2] \( (x – 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \) 전개
\[ = x(x^2 + 2xy + 4y^2) – 2y(x^2 + 2xy + 4y^2) \] \[ = x^3 + 2x^2y + 4xy^2 – 2x^2y – 4xy^2 – 8y^3 \] \[ = x^3 – 8y^3 \][Step 3] 전체 식 계산
\[ (2x – y)^3 – (x – 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \] \[ = (8x^3 – 12x^2y + 6xy^2 – y^3) – (x^3 – 8y^3) \] \[ = 7x^3 – 12x^2y + 6xy^2 + 7y^3 \][Step 4] 계수 비교 및 계산
- \( a = 7 \)
- \( b = -12 \)
- \( c = 6 \)
- \( d = 7 \)
따라서,
\[ a – b – c – d = 7 – (-12) – 6 – 7 = 7 + 12 – 6 – 7 = 6 \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{6} \]📝 마무리 정리
- 복잡한 전개식은 항별로 나눠서 차근차근 정리하는 것이 중요함
- 항의 부호에 유의하여 정리하면 실수를 줄일 수 있음
- 정리된 계수들을 정확히 비교하여 원하는 식에 대입