다항식 나눗셈과 나머지 정리 활용 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 다항식 \(P(x)\)를 \((x-2)^3\)으로 나누었을 때의 나머지(\(-4x^2 + a\))와 \((x-2)^2\)으로 나누었을 때의 나머지(\(bx + 2\))를 알려주고, 상수 \(a, b\)에 대해 \(a – b\)의 값을 구하는 문제입니다. 이 문제는 다항식 나눗셈의 관계와 나머지의 성질을 이용하여 해결합니다.
- 첫 번째 나눗셈 관계식 설정: \(P(x)\)를 \((x-2)^3\)으로 나눈 몫을 \(Q(x)\)라 하고, \(P(x) = (x-2)^3 Q(x) – 4x^2 + a\)로 표현합니다.
- 두 번째 나눗셈과의 관계 파악: \(P(x)\)를 \((x-2)^2\)으로 나누는 상황을 고려합니다. 위 식에서 \((x-2)^3 Q(x)\) 항은 \((x-2)^2\)으로 나누어 떨어집니다. 따라서 \(P(x)\)를 \((x-2)^2\)으로 나눈 나머지는 원래 나머지였던 \(-4x^2 + a\)를 \((x-2)^2\)으로 나눈 나머지와 같습니다.
- 나머지 재나눗셈: \(-4x^2 + a\)를 \((x-2)^2 = x^2 – 4x + 4\)로 직접 나누어 그 나머지를 구합니다.
- 나머지 비교 및 계수 비교: 위에서 구한 나머지를 문제에서 주어진 나머지 \(bx + 2\)와 같다고 놓고, 항등식의 성질을 이용하여 \(x\)의 계수와 상수항을 비교하여 \(a\)와 \(b\)의 값을 찾습니다.
- 최종 값 계산: 구한 \(a\)와 \(b\)를 이용하여 \(a – b\)의 값을 계산합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 첫 번째 나눗셈 관계식 설정
다항식 \(P(x)\)를 \((x-2)^3\)으로 나눈 몫을 \(Q(x)\)라고 하면, 나눗셈 관계식은 다음과 같습니다.
$$ P(x) = (x-2)^3 Q(x) + (-4x^2 + a) \quad \cdots (1) $$
Step 2: 두 번째 나눗셈과의 관계 파악
식 (1)을 \((x-2)^2\)으로 나누는 경우를 생각해 봅시다. \((x-2)^3 Q(x) = (x-2)^2 \cdot [(x-2)Q(x)]\) 이므로, 이 부분은 \((x-2)^2\)으로 나누어 떨어집니다.
따라서, \(P(x)\)를 \((x-2)^2\)으로 나누었을 때의 나머지는 \(-4x^2 + a\)를 \((x-2)^2\)으로 나누었을 때의 나머지와 같습니다.
Step 3: 나머지 재나눗셈 \((-4x^2 + a) \div (x-2)^2\)
나머지였던 \(-4x^2 + a\)를 \((x-2)^2 = x^2 – 4x + 4\)로 직접 나눕니다.
-4 <-- 몫
________
x²-4x+4 | -4x² + 0x + a
| -(-4x² + 16x - 16)
| ________________
| -16x + a + 16 <-- 나머지
즉, \(-4x^2 + a = (x^2 – 4x + 4)(-4) + (-16x + a + 16)\) 입니다.
그러므로 \(P(x)\)를 \((x-2)^2\)으로 나눈 나머지는 \(-16x + a + 16\)입니다.
(참고: 식 (1)을 위 결과를 이용해 다시 쓰면 \(P(x) = (x-2)^3 Q(x) + (x-2)^2(-4) + (-16x + a + 16) = (x-2)^2 \{ (x-2)Q(x) – 4 \} + (-16x + a + 16)\) 가 됩니다.)
Step 4: 나머지 비교 및 계수 비교
문제에서 \(P(x)\)를 \((x-2)^2\)으로 나누었을 때의 나머지가 \(bx + 2\)라고 주어졌습니다. Step 3에서 구한 나머지와 이것이 같아야 합니다.
$$ -16x + (a + 16) = bx + 2 $$
이 등식은 \(x\)에 대한 항등식이므로, 양변의 \(x\)의 계수와 상수항이 각각 같아야 합니다.
\(x\)의 계수 비교:
$$ -16 = b $$
상수항 비교:
$$ a + 16 = 2 $$
$$ a = 2 – 16 = -14 $$
따라서, \(a = -14\)이고 \(b = -16\)입니다.
Step 5: \(a – b\) 값 계산
구해야 하는 값은 \(a – b\)입니다.
$$ a – b = (-14) – (-16) = -14 + 16 = 2 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식 나눗셈의 관계를 심층적으로 이해하고 활용하는 문제입니다. 특히, 같은 인수를 포함하는 식으로 나누었을 때 나머지의 관계를 파악하는 것이 중요합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 다항식 나눗셈의 항등식: \(A(x) = B(x)Q(x) + R(x)\) (단, \(\deg(R) < \deg(B)\) 또는 \(R(x)=0\)).
- 나머지의 성질: \(A(x)\)를 \(B(x)\)로 나눈 나머지가 \(R(x)\)일 때, \(A(x)\)를 \(B(x)\)의 인수로 나누면 그 나머지는 \(R(x)\)를 \(B(x)\)의 인수로 나눈 나머지와 같습니다. 이 문제에서는 \(A(x) = P(x)\), \(B(x) = (x-2)^3\), \(R(x) = -4x^2 + a\)이고, \(B(x)\)의 인수인 \((x-2)^2\)으로 나누는 상황에 이 성질이 적용됩니다. 즉, \(P(x)\)를 \((x-2)^2\)으로 나눈 나머지는 \(-4x^2 + a\)를 \((x-2)^2\)으로 나눈 나머지와 같습니다.
- 항등식과 계수 비교법: 두 다항식이 같다는 것은 모든 \(x\)에 대해 값이 같다는 의미이며, 이는 양변의 동류항의 계수가 각각 같아야 함을 의미합니다.
복잡한 다항식 \(P(x)\)를 직접 구하지 않고도, 나눗셈 관계와 나머지의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있다는 점이 중요합니다.
✅ 최종 정답
④ \(2\)