📘 문제 이해 및 풀이 전략
문제는 두 단계로 구성되어 있습니다.
- 실수 \(a, b\)를 계수로 갖는 이차방정식 \(x^2 – ax + b = 0\)의 한 근이 \(2 + 3i\)일 때, \(a\)와 \(b\)를 구합니다.
- 위에서 구한 \(a, b\)를 두 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식 \(x^2 + px + q = 0\)을 찾고, \(p\)와 \(q\)를 구하여 \(pq\)의 값을 계산합니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 켤레근의 성질 이용: 계수 \(a, b\)가 실수이므로, 이차방정식 \(x^2 – ax + b = 0\)의 한 근이 \(2 + 3i\)이면 다른 한 근은 반드시 켤레복소수인 \(2 – 3i\)입니다.
- 근과 계수의 관계 (1단계): 첫 번째 이차방정식의 두 근(\(2+3i, 2-3i\))의 합과 곱을 근과 계수의 관계를 이용하여 \(a, b\)와 연결하여 \(a, b\) 값을 구합니다.
- 근과 계수의 관계 (2단계): 두 번째 이차방정식 \(x^2 + px + q = 0\)의 두 근이 위에서 구한 \(a, b\)임을 이용하여, 근과 계수의 관계를 적용하여 \(p, q\) 값을 구합니다.
- 두 근(\(a, b\))의 합: \(a+b = -p\)
- 두 근(\(a, b\))의 곱: \(a \cdot b = q\)
- 최종 값 계산: 구한 \(p\)와 \(q\)를 곱하여 \(pq\)의 값을 계산합니다.
관련 공식:
- 켤레근의 성질: 실수 계수를 갖는 방정식의 한 허근이 \(p+qi\)이면, 그 켤레복소수인 \(p-qi\)도 반드시 근이다. (\(p, q\)는 실수, \(q \neq 0\))
- 이차방정식 근과 계수의 관계: \(Ax^2 + Bx + C = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\alpha + \beta = -B/A\), \(\alpha \beta = C/A\)
- 이차방정식 작성: 두 수 \(r_1, r_2\)를 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식은 \(x^2 – (r_1 + r_2)x + r_1 r_2 = 0\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 첫 번째 이차방정식의 다른 근 찾기 및 \(a, b\) 구하기
이차방정식 \(x^2 – ax + b = 0\)의 계수 \(1, -a, b\)는 모두 실수입니다 (\(a, b\)가 실수라고 주어짐). 한 근이 \(2 + 3i\)이므로, 켤레근의 성질에 의해 다른 한 근은 \(\mathbf{2 – 3i}\) 입니다.
이제 근과 계수의 관계를 적용합니다.
두 근의 합: \((2 + 3i) + (2 – 3i) = – \frac{-a}{1} = a\)
$$ a = (2 + 2) + (3 – 3)i = 4 $$
두 근의 곱: \((2 + 3i)(2 – 3i) = \frac{b}{1} = b\)
$$ b = 2^2 – (3i)^2 = 4 – 9i^2 = 4 – 9(-1) = 4 + 9 = 13 $$
따라서 \(\mathbf{a = 4}\), \(\mathbf{b = 13}\) 입니다.
Step 2: 두 번째 이차방정식의 \(p, q\) 구하기
두 번째 이차방정식 \(x^2 + px + q = 0\)은 두 실수 \(a, b\)를 근으로 갖습니다. 즉, 두 근은 Step 1에서 구한 \(4\)와 \(13\)입니다.
근과 계수의 관계를 적용합니다.
두 근의 합: \(4 + 13 = – \frac{p}{1} = -p\)
$$ 17 = -p \implies p = -17 $$
두 근의 곱: \(4 \times 13 = \frac{q}{1} = q\)
$$ q = 52 $$
따라서 \(\mathbf{p = -17}\), \(\mathbf{q = 52}\) 입니다.
(참고: 두 근 \(4, 13\)으로 이차방정식을 직접 작성하면 \(x^2 – (4+13)x + (4 \times 13) = 0\), 즉 \(x^2 – 17x + 52 = 0\) 입니다. 이를 \(x^2 + px + q = 0\)과 비교하면 \(p=-17, q=52\)임을 알 수 있습니다.)
Step 3: \(pq\) 값 계산
Step 2에서 구한 \(p = -17\) 과 \(q = 52\) 를 곱합니다.
$$ pq = (-17) \times 52 $$
계산하면:
\(17 \times 52 = 17 \times (50 + 2) = 17 \times 50 + 17 \times 2 = 850 + 34 = 884\)
$$ pq = -884 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이차방정식의 중요한 두 가지 개념을 순차적으로 적용하는 문제입니다.
- 켤레근의 성질: 실수 계수를 갖는 방정식에서 허근은 항상 켤레로 존재한다는 성질은 허근 하나가 주어졌을 때 나머지 근을 바로 알 수 있게 해줍니다. 계수가 실수라는 조건이 매우 중요합니다.
- 근과 계수의 관계: 방정식의 근과 계수 사이의 관계는 근을 직접 구하지 않고도 근의 합과 곱을 알 수 있게 해주며, 반대로 근의 합과 곱을 알면 계수를 찾거나 방정식을 작성하는 데 사용됩니다.
이 두 개념을 정확히 이해하고 적용하면 문제를 단계적으로 해결할 수 있습니다. 첫 번째 방정식에서 \(a, b\)를 구하고, 이 \(a, b\)가 두 번째 방정식의 근이 된다는 연결고리를 파악하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(pq = -884\)
\(-884\)