📘 문제 요약
두 식이 주어졌습니다.
- \( x – y – z = 4 \)
- \( \frac{1}{x} – \frac{1}{y} – \frac{1}{z} = \frac{1}{3} \)
이때 다음 식의 값을 구하는 문제입니다:
\[ (x – 3)(y + 3)(z + 3) \]
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 두 번째 식 정리
\[ \frac{1}{x} – \frac{1}{y} – \frac{1}{z} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{yz – xz – xy}{xyz} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3(yz – xz – xy) = xyz \tag{①} \]
🔵 Step 2. 목표식 변형
\[ (x – 3)(y + 3)(z + 3) = (-3 + x)(-3 – y)(-3 – z) \]
🔵 Step 3. 전개 및 정리
전개하면: \[ (-3 + x)(-3 – y)(-3 – z) = (x – 3)(y + 3)(z + 3) \]
전개 결과: \[ = 9(x – y – z) + xyz – 27 \tag{②} \]
🔵 Step 4. 대입 및 계산
우리는 \( x – y – z = 4 \), 그리고 (①)로부터 \( xyz = 3(x – y – z) = 3 \cdot 4 = 12 \)임을 안다.
따라서: \[ (x – 3)(y + 3)(z + 3) = 9 \cdot 4 + 12 – 27 = 36 + 12 – 27 = \boxed{21} \]
잠깐! 위 해설이 잘못되었습니다. 실제 해설은 다음과 같습니다.
앞서 언급한 식을 더 적절히 다듬으면 다음과 같은 형태가 됩니다:
\[ (x – 3)(y + 3)(z + 3) = 9(x – y – z) – 27 \]
이때 \( x – y – z = 4 \)이므로: \[ 9 \cdot 4 – 27 = 36 – 27 = \boxed{9} \]
🧠 마무리 개념 정리
- 치환과 전개 전략: 복잡한 다항식 곱은 무작정 전개보다 주어진 조건을 활용해 구조적으로 간단하게 만들 수 있다.
- 속성 정리: \( xyz = 3(yz – xz – xy) \) 형태의 통분식 변환은 매우 중요한 정형 기법.
- 함수 형태 파악: 변수 간의 합과 곱, 그리고 다항식의 구조를 익히면 빠르게 변형이 가능.
✅ 최종 정답
\[ \boxed{9} \quad \text{(⑤번)} \]