📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 상용로그 \(\log 2 = a\) 와 \(\log 3 = b\) 가 주어졌을 때, 밑이 5인 로그 \(\log_5 18\) 을 \(a\) 와 \(b\) 를 이용하여 나타내는 문제입니다. 주어진 로그와 구해야 하는 로그의 밑이 다르므로, 로그의 밑 변환 공식을 사용하는 것이 핵심 전략입니다.
- 밑 변환 공식 적용: 구하고자 하는 \(\log_5 18\)의 밑을 주어진 상용로그의 밑인 10으로 변환합니다. 즉, \( \log_5 18 = \frac{\log 18}{\log 5} \) 로 바꿉니다.
- 진수 소인수분해 및 로그 성질 적용: 밑 변환 후 얻어진 분자와 분모의 로그(\(\log 18\) 과 \(\log 5\))의 진수를 소인수분해하고 로그의 성질(\(\log(xy) = \log x + \log y\), \(\log x^k = k \log x\), \(\log(x/y) = \log x – \log y\))을 이용하여 \(\log 2\) 와 \(\log 3\) 형태로 변형합니다.
- \(a\), \(b\) 로 표현: 변형된 식에 \(\log 2 = a\) 와 \(\log 3 = b\) 를 대입하여 최종 결과를 \(a\) 와 \(b\) 에 대한 식으로 나타냅니다. 특히 \(\log 5\)는 \(\log \frac{10}{2} = \log 10 – \log 2 = 1 – \log 2\) 로 변환하는 것이 일반적입니다.
핵심 공식 및 성질:
- 로그 밑 변환 공식: \( \log_c a = \frac{\log_b a}{\log_b c} \) (여기서는 밑 \(b=10\)인 상용로그로 변환)
- 로그의 성질:
- \(\log (xy) = \log x + \log y\)
- \(\log x^k = k \log x\)
- \(\log \frac{x}{y} = \log x – \log y\)
- 상용로그의 기본 값: \(\log 10 = 1\)
- \(\log 5\) 변환: \(\log 5 = \log \frac{10}{2} = \log 10 – \log 2 = 1 – \log 2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 로그 밑 변환 공식 적용
구하고자 하는 로그는 \(\log_5 18\) 이고, 주어진 로그는 밑이 10인 상용로그입니다. 따라서 밑 변환 공식을 이용하여 \(\log_5 18\) 의 밑을 10으로 변환합니다.
$$ \log_5 18 = \frac{\log_{10} 18}{\log_{10} 5} = \frac{\log 18}{\log 5} $$
(상용로그는 보통 밑 10을 생략하고 씁니다.)
Step 2: 분자 (\(\log 18\)) 계산
분자인 \(\log 18\) 을 \(\log 2\) 와 \(\log 3\) 으로 표현하기 위해 진수 18을 소인수분해합니다.
$$ 18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2 $$
이제 로그의 성질을 적용합니다.
$$ \log 18 = \log (2 \times 3^2) $$
진수의 곱은 로그의 합으로 분리됩니다 (\(\log(xy) = \log x + \log y\)).
$$ = \log 2 + \log 3^2 $$
진수의 거듭제곱은 로그 앞의 계수로 나옵니다 (\(\log x^k = k \log x\)).
$$ = \log 2 + 2 \log 3 $$
주어진 조건 \(\log 2 = a\) 와 \(\log 3 = b\) 를 대입합니다.
$$ \log 18 = a + 2b $$
Step 3: 분모 (\(\log 5\)) 계산
분모인 \(\log 5\) 를 \(\log 2\) 로 표현하기 위해 \( 5 = \frac{10}{2} \) 관계를 이용합니다.
$$ \log 5 = \log \left( \frac{10}{2} \right) $$
진수의 나눗셈은 로그의 뺄셈으로 분리됩니다 (\(\log(x/y) = \log x – \log y\)).
$$ = \log 10 – \log 2 $$
상용로그에서 \(\log 10 = 1\) 이고, 주어진 조건 \(\log 2 = a\) 를 대입합니다.
$$ \log 5 = 1 – a $$
Step 4: 최종 결과 조합
Step 1에서 얻은 식 \( \log_5 18 = \frac{\log 18}{\log 5} \) 에 Step 2와 Step 3에서 계산한 결과를 대입합니다.
$$ \log_5 18 = \frac{a + 2b}{1 – a} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 로그의 밑 변환 공식과 로그의 기본 성질을 정확하게 활용하는 능력을 평가합니다. 특히 다음과 같은 사항을 기억해야 합니다.
- 밑 변환 공식의 필요성: 밑이 다른 로그 값들을 서로 연관시키거나 계산하기 위해 밑을 통일해야 할 때 사용됩니다. 주로 상용로그(밑 10)나 자연로그(밑 e)로 통일하는 경우가 많습니다.
- 상용로그 활용: \(\log 2\) 와 \(\log 3\) 값이 주어지면, 이를 이용하여 \(\log 4 = 2\log 2\), \(\log 6 = \log 2 + \log 3\), \(\log 8 = 3\log 2\), \(\log 9 = 2\log 3\) 등 다양한 로그 값을 표현할 수 있습니다.
- \(\log 5\) 처리: 상용로그 문제에서 \(\log 5\) 는 \( \log 5 = 1 – \log 2 \) 로 변환하여 처리하는 경우가 매우 흔합니다. 이 변환을 기억해두면 문제 풀이 시간을 단축할 수 있습니다.
다양한 밑을 가진 로그 문제가 나오더라도, 밑 변환 공식을 통해 익숙한 밑(주로 10)으로 통일한 후 로그의 성질을 적용하면 해결할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
계산 결과 \( \log_5 18 = \frac{a + 2b}{1 – a} \) 입니다.
따라서 정답은 ⑤번입니다.