📌 문제 이해하기
곡선 \( y = x^2 \) 위의 점 \( P(t, t^2) \)와 해당 점에서 x축, y축에 내린 점 \( Q, R \)에 대해, 조건에 따라 이동변삼각형 두 개가 주어지고 있습니다.
- (가) 삼각형 POQ는 PO = PQ인 이등변삼각형이다.
- (나) 삼각형 PRO는 RO = RP인 이등변삼각형이다.
이 조건을 바탕으로 삼각형 POQ, PRO의 넓이를 각각 \( S(t), T(t) \)라 할 때,
\[ \lim_{t \to 0^+} \frac{T(t) – S(t)}{t} \]의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 각 점의 좌표 구하기
- \( P(t, t^2) \): 곡선 위의 점
- \( Q(2t, 0) \): PO = PQ 조건에 따라 x축 대칭인 점
- \( O(0, 0) \): 원점
[Step 2] 삼각형 POQ의 넓이
밑변 = 2t, 높이 = \( t^2 \)이므로,
\[ S(t) = \frac{1}{2} \cdot 2t \cdot t^2 = t^3 \][Step 3] 삼각형 PRO의 넓이
RO = RP 조건에 따라, 선분 OP의 수직이등분선과 y축이 만나는 점이 R입니다.
OP의 중점은 \( M\left(\frac{t}{2}, \frac{t^2}{2}\right) \)이고,
기울기: \( \frac{t^2}{t} = t \) → 수직이등분선의 기울기는 \( -\frac{1}{t} \)
직선 MR의 방정식:
\[ y – \frac{t^2}{2} = -\frac{1}{t} \left(x – \frac{t}{2}\right) \]y축과의 교점 (즉, x = 0에서의 y값)를 구하면,
\[ y = \frac{t^2}{2} + \frac{t}{2} = \frac{t^2 + t}{2} \]따라서 \( R(0, \frac{t^2 + t}{2}) \)
삼각형 PRO는 밑변 = t, 높이 = \( \frac{t^2 + t}{2} \)
\[ T(t) = \frac{1}{2} \cdot t \cdot \frac{t^2 + t}{2} = \frac{1}{4}(t^3 + t^2) \][Step 4] 극한 계산
이제 식에 대입하면,
\[ \lim_{t \to 0^+} \frac{T(t) – S(t)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{1}{4}(t^3 + t^2) – t^3}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{-\frac{3}{4}t^3 + \frac{1}{4}t^2}{t} = \lim_{t \to 0^+} \left(-\frac{3}{4}t^2 + \frac{1}{4}t\right) \Rightarrow 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{\frac{1}{4}} \]📝 마무리 정리
1. 이등변삼각형의 조건 활용
이등변삼각형에서 두 변의 길이가 같다는 조건은 좌표를 구하거나, 대칭성을 활용하여 점을 정의할 수 있게 해줍니다.
2. 수직이등분선의 기울기
기울기 \( m \)인 직선에 수직인 직선의 기울기는 \( -\frac{1}{m} \)이라는 개념을 통해 새로운 직선을 구했습니다.
3. 넓이와 극한
삼각형의 넓이 공식을 통해 두 함수 \( S(t), T(t) \)를 정의하고, 극한 계산을 통해 미소 구간에서의 넓이 변화율을 분석했습니다.