📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 다항식 \((1 + x)^3 \times (1 + x)^7\)의 전개식에서 \(x^7\) 항의 계수를 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 식 간단히 하기: 먼저 주어진 다항식을 지수법칙을 이용하여 간단하게 만듭니다.
- 이항정리 적용: 간단히 한 다항식 \((1 + x)^n\)의 형태에 이항정리를 적용하여 일반항을 구합니다.
- 해당 항 찾기: 일반항에서 \(x^7\)이 되는 경우를 찾고, 그 항의 계수를 계산합니다.
관련 공식:
- 지수법칙: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
- 이항정리 (Binomial Theorem):
\((a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} {_{n}C_{r}} a^{n-r} b^r\)
특히, \((1 + x)^n = \sum_{r=0}^{n} {_{n}C_{r}} 1^{n-r} x^r = \sum_{r=0}^{n} {_{n}C_{r}} x^r\)
따라서 \((1+x)^n\)의 전개식에서 \(x^r\)의 계수는 \(_{n}C_{r}\) 입니다. - 조합의 성질: \(_{n}C_{r} = _{n}C_{n-r}\)
- 조합 계산: \(_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n \times (n-1) \times \dots \times (n-r+1)}{r \times (r-1) \times \dots \times 1}\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 다항식 간단히 하기
지수법칙 \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)을 이용하여 주어진 다항식을 간단히 합니다.
$$ (1 + x)^3 \times (1 + x)^7 = (1 + x)^{3+7} = (1 + x)^{10} $$
따라서 문제는 \((1 + x)^{10}\)의 전개식에서 \(x^7\)의 계수를 구하는 것으로 바뀝니다.
Step 2: 이항정리를 이용하여 \(x^7\) 항의 계수 찾기
이항정리에 따르면, \((1 + x)^{10}\)의 전개식에서 \(x^r\) 항의 계수는 \(_{10}C_{r}\) 입니다.
우리는 \(x^7\) 항의 계수를 구해야 하므로, \(r = 7\)을 적용합니다.
\(x^7\)의 계수는 \(_{10}C_{7}\) 입니다.
Step 3: 조합 \(_{10}C_{7}\) 계산하기
조합의 성질 \(_{n}C_{r} = _{n}C_{n-r}\)을 이용하면 계산을 간단히 할 수 있습니다.
$$ _{10}C_{7} = _{10}C_{10-7} = _{10}C_{3} $$
이제 \(_{10}C_{3}\)을 계산합니다.
$$ _{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} $$
약분하여 계산하면:
$$ = \frac{10 \times (3 \times \cancel{3}) \times (4 \times \cancel{2})}{\cancel{3} \times \cancel{2} \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120 $$
따라서 \(x^7\)의 계수는 120입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식의 곱을 간단히 하고, 이항정리를 이용하여 특정 항의 계수를 찾는 기본적인 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 지수법칙: 밑이 같은 거듭제곱의 곱셈은 지수의 합으로 간단히 할 수 있습니다.
- 이항정리: \((a+b)^n\) 형태의 다항식을 전개하는 일반적인 방법을 제공합니다. 특히 \((1+x)^n\)의 전개식에서 \(x^r\)의 계수는 조합 \(_{n}C_{r}\)임을 기억하는 것이 유용합니다.
- 조합 계산 및 성질: 조합 \(_{n}C_{r}\)의 계산 방법과 \(_{n}C_{r} = _{n}C_{n-r}\) 성질을 이용하여 계산을 효율적으로 할 수 있습니다.
다항식의 곱을 보고 복잡하게 생각할 수 있지만, 지수법칙을 통해 간단히 만들면 표준적인 이항정리 문제로 바꿀 수 있습니다.
✅ 최종 정답
\(x^7\)의 계수는 120입니다.
따라서 정답은 ② 120 입니다.