급수, 수열 극한, 부분합 극한 문제 풀이
수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(\sum_{n=1}^{\infty} (a_n – 1) = 10\)일 때,
$$ \lim_{n\to\infty} (2a_n + S_n – n) $$
의 값은?
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 급수가 특정 값으로 수렴한다는 조건과 급수와 부분합의 관계를 이용하여, 수열 \(\{a_n\}\)과 부분합 \(S_n\)을 포함하는 다른 식의 극한값을 구하는 문제입니다.
- 급수 수렴 조건 활용 (\(\lim a_n\) 구하기): 주어진 급수 \(\sum (a_n – 1)\)이 10으로 수렴하므로, 이 급수의 일반항 \((a_n – 1)\)의 극한값은 0임을 이용합니다. 이를 통해 \(\lim_{n\to\infty} a_n\) 값을 구합니다.
- 급수와 부분합의 관계 활용 (\(\lim (S_n – n)\) 구하기): 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)의 정의는 부분합 \(T_n = \sum_{k=1}^{n} b_k\)의 극한값 (\(\lim_{n\to\infty} T_n\))과 같습니다. 주어진 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} (a_n – 1) = 10\)을 이용하여, 이 급수의 부분합 \(\sum_{k=1}^{n} (a_k – 1)\)의 극한값을 구합니다. 이 부분합을 \(S_n\)과 \(n\)으로 표현하여 \(\lim_{n\to\infty} (S_n – n)\) 값을 알아냅니다.
- 극한값 계산: 구하고자 하는 극한 \(\lim_{n\to\infty} (2a_n + S_n – n)\)을 극한의 성질을 이용하여 분리하고, 위에서 구한 극한값들을 대입하여 최종 답을 계산합니다.
기본 개념:
- 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)이 수렴하면 \(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\)이다.
- 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n = S\) 이면, 부분합 \(T_n = \sum_{k=1}^{n} b_k\)에 대해 \(\lim_{n\to\infty} T_n = S\)이다.
- 부분합 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 급수 수렴 조건을 이용하여 \(\lim_{n\to\infty} a_n\) 구하기
주어진 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} (a_n – 1)\)이 10으로 수렴합니다.
급수가 수렴하므로, 일반항 \((a_n – 1)\)의 극한값은 0이어야 합니다.
$$ \lim_{n\to\infty} (a_n – 1) = 0 $$
극한의 성질을 이용하여 \(\lim a_n\)을 구합니다.
$$ \lim_{n\to\infty} a_n – \lim_{n\to\infty} 1 = 0 $$
$$ \lim_{n\to\infty} a_n – 1 = 0 $$
따라서,
$$ \lim_{n\to\infty} a_n = 1 \quad \cdots (1) $$
Step 2: 급수와 부분합의 관계를 이용하여 \(\lim_{n\to\infty} (S_n – n)\) 구하기
급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} (a_n – 1)\)의 값은 이 급수의 부분합의 극한값과 같습니다.
부분합 \(T_n\)을 정의합니다.
$$ T_n = \sum_{k=1}^{n} (a_k – 1) $$
시그마(Summation)의 성질을 이용하여 분리합니다.
$$ T_n = \sum_{k=1}^{n} a_k – \sum_{k=1}^{n} 1 $$
\(\sum_{k=1}^{n} a_k = S_n\) (수열 \(\{a_n\}\)의 제\(n\)항까지의 합) 이고, \(\sum_{k=1}^{n} 1 = 1 \times n = n\) 이므로,
$$ T_n = S_n – n $$
문제에서 급수의 합이 10이라고 주어졌으므로, 부분합 \(T_n\)의 극한값은 10입니다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (a_n – 1) = \lim_{n\to\infty} T_n = \lim_{n\to\infty} (S_n – n) = 10 \quad \cdots (2) $$
Step 3: 목표 극한값 계산
구하고자 하는 극한값은 \(\lim_{n\to\infty} (2a_n + S_n – n)\) 입니다.
극한의 합의 성질을 이용하여 분리합니다.
$$ \lim_{n\to\infty} (2a_n + S_n – n) = \lim_{n\to\infty} (2a_n) + \lim_{n\to\infty} (S_n – n) $$
상수배의 성질을 이용하여 2를 밖으로 꺼냅니다.
$$ = 2 \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} (S_n – n) $$
이제 Step 1에서 구한 \(\lim_{n\to\infty} a_n = 1\) 과 Step 2에서 구한 \(\lim_{n\to\infty} (S_n – n) = 10\) 을 대입합니다.
$$ = 2(1) + 10 $$
$$ = 2 + 10 = 12 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 급수의 수렴 조건, 급수와 부분합의 관계, 그리고 수열의 극한값 계산 성질을 종합적으로 이해하고 적용하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 급수 수렴의 필요조건: 급수 \(\sum b_n\)이 수렴하면 \(\lim b_n = 0\)입니다. 이 성질은 수열의 극한값을 구하는 데 매우 유용하게 사용됩니다.
- 급수의 정의 (부분합의 극한): 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)의 합은 그 부분합 \(T_n = \sum_{k=1}^{n} b_k\)의 극한값, 즉 \(\lim_{n\to\infty} T_n\)으로 정의됩니다. 따라서 급수의 합이 주어진 것은 부분합의 극한값이 주어진 것과 동일합니다.
- 시그마(Summation)의 성질: \(\sum (a_k \pm b_k) = \sum a_k \pm \sum b_k\), \(\sum c = cn\) (단, \(c\)는 상수). 이 성질을 이용하여 부분합을 변형할 수 있습니다.
- 수열 극한의 성질: 수렴하는 수열에 대해 합, 차, 상수배의 극한은 각각의 극한값의 합, 차, 상수배와 같습니다.
$$ \lim (c \cdot a_n + d \cdot b_n) = c \lim a_n + d \lim b_n $$
(단, \(\lim a_n, \lim b_n\)이 수렴할 때)
급수 \(\sum (a_n – 1)\)이 수렴한다는 조건에서 \(\lim (a_n – 1) = 0\)과 \(\lim (S_n – n) = 10\)이라는 두 가지 중요한 정보를 이끌어내고, 이를 활용하여 목표 극한값을 계산하는 것이 이 문제 해결의 핵심 흐름입니다.
✅ 최종 정답
② 12