급수 수렴 조건 활용 수열 극한값 계산 문제 풀이
수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5a_n – 6}{2a_n + 5} = 2\)일 때,
$$ \lim_{n\to\infty} a_n $$
의 값은?
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 급수가 특정 값(2)으로 수렴한다는 조건을 이용하여, 수열 \(\{a_n\}\)의 극한값을 구하는 문제입니다. 이전 문제와 마찬가지로 급수의 수렴과 그 일반항의 극한 사이의 관계를 이용합니다.
- 급수의 일반항 정의: 주어진 급수의 일반항을 \(b_n = \frac{5a_n – 6}{2a_n + 5}\)로 정의합니다.
- 급수 수렴 조건 적용: 급수 \(\sum b_n\)이 2로 수렴하므로, 그 일반항 \(b_n\)의 극한값은 반드시 0이어야 합니다. (\(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\))
- \(a_n\)의 극한값 구하기 (방법 1: 치환 및 정리): \(\lim b_n = 0\)이라는 관계식 자체를 이용하여 \(\lim a_n\)의 값을 구합니다. 만약 \(\lim a_n = \alpha\) (알파)로 수렴한다고 가정하면, 극한의 성질에 의해 \(\lim b_n = \frac{5\alpha – 6}{2\alpha + 5} = 0\)이 됩니다. 이 방정식을 풀어 \(\alpha\) 값을 구합니다.
- \(a_n\)의 극한값 구하기 (방법 2: 해설 방식): 일반항 \(b_n = \frac{5a_n – 6}{2a_n + 5}\) 식을 \(a_n\)에 대해 정리합니다. 즉, \(a_n\)을 \(b_n\)에 대한 식으로 표현한 후, \(\lim b_n = 0\)임을 이용하여 \(\lim a_n\)을 계산합니다.
✅ 단계별 풀이 과정 (방법 1: 극한값 치환)
Step 1: 급수 수렴 조건 적용
주어진 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5a_n – 6}{2a_n + 5}\)이 2로 수렴합니다.
급수가 수렴하므로, 그 일반항의 극한값은 0이어야 합니다.
$$ \lim_{n\to\infty} \frac{5a_n – 6}{2a_n + 5} = 0 $$
Step 2: \(\lim a_n\) 값 추정 및 방정식 설정
만약 수열 \(\{a_n\}\)이 수렴하고 그 극한값을 \(\alpha\)라고 가정하면 (\(\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha\)), 극한의 성질(사칙연산)에 의해 Step 1의 식은 다음과 같이 변형됩니다.
$$ \lim_{n\to\infty} \frac{5a_n – 6}{2a_n + 5} = \frac{\lim(5a_n – 6)}{\lim(2a_n + 5)} = \frac{5 \lim a_n – 6}{2 \lim a_n + 5} = \frac{5\alpha – 6}{2\alpha + 5} $$
이 값이 0이어야 하므로, 다음 방정식을 얻습니다.
$$ \frac{5\alpha – 6}{2\alpha + 5} = 0 $$
(단, 분모 \(2\alpha + 5 \neq 0\)이어야 합니다.)
Step 3: 방정식 풀이
분수 형태의 식이 0이 되려면 분자가 0이어야 합니다.
$$ 5\alpha – 6 = 0 $$
$$ 5\alpha = 6 $$
$$ \alpha = \frac{6}{5} $$
이때 분모 \(2\alpha + 5 = 2(\frac{6}{5}) + 5 = \frac{12}{5} + \frac{25}{5} = \frac{37}{5} \neq 0\)이므로 유효한 해입니다.
따라서 수열 \(\{a_n\}\)이 수렴한다면 그 극한값은 \(\frac{6}{5}\)입니다.
엄밀하게는 \(\{a_n\}\)의 수렴성을 먼저 보여야 하지만, 객관식 문제에서는 \(\lim a_n\) 값이 존재한다고 가정하고 푸는 것이 일반적입니다.
✅ 단계별 풀이 과정 (방법 2: 해설 방식)
Step 1′: 일반항 치환 및 극한값 확인
주어진 급수의 일반항을 \(b_n\)으로 치환합니다.
$$ b_n = \frac{5a_n – 6}{2a_n + 5} $$
급수가 수렴하므로 일반항의 극한은 0입니다.
$$ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 $$
Step 2′: \(a_n\)을 \(b_n\)에 대한 식으로 정리
식 \(b_n = \frac{5a_n – 6}{2a_n + 5}\) 에서 \(a_n\)을 주어로 만들기 위해 양변에 \((2a_n + 5)\)를 곱합니다.
$$ b_n (2a_n + 5) = 5a_n – 6 $$
괄호를 풀고 \(a_n\)을 포함하는 항을 좌변으로, 나머지를 우변으로 이항합니다.
$$ 2b_n a_n + 5b_n = 5a_n – 6 $$
$$ 2b_n a_n – 5a_n = -5b_n – 6 $$
좌변에서 \(a_n\)으로 묶어줍니다.
$$ (2b_n – 5) a_n = -5b_n – 6 $$
양변을 \((2b_n – 5)\)로 나누어 \(a_n\)을 구합니다.
$$ a_n = \frac{-5b_n – 6}{2b_n – 5} = \frac{5b_n + 6}{5 – 2b_n} $$
Step 3′: \(\lim a_n\) 계산
이제 \(a_n\)의 극한값을 계산합니다. Step 1’에서 \(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\)임을 알고 있습니다.
$$ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{5b_n + 6}{5 – 2b_n} $$
극한의 성질을 이용하여 각 항에 극한을 적용합니다.
$$ = \frac{5 \lim b_n + 6}{5 – 2 \lim b_n} $$
\(\lim b_n = 0\)을 대입합니다.
$$ = \frac{5(0) + 6}{5 – 2(0)} = \frac{0 + 6}{5 – 0} = \frac{6}{5} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 급수의 수렴 조건(\(\sum b_n\) 수렴 \(\Rightarrow \lim b_n = 0\))과 수열 극한의 기본 성질(사칙연산)을 이용하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 급수 수렴의 필요조건: 급수가 어떤 값으로 수렴한다면, 그 급수의 일반항은 반드시 0으로 수렴해야 합니다. 이것은 급수 관련 문제에서 수열의 극한값을 구하는 강력한 단서가 됩니다.
- 수열 극한의 성질: 수렴하는 수열들에 대해 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(분모 0 제외)이 자유롭게 가능합니다. 즉, 전체 식의 극한은 각 부분을 극한낸 후 계산한 결과와 같습니다.
$$ \lim \frac{f(a_n)}{g(a_n)} = \frac{f(\lim a_n)}{g(\lim a_n)} $$
(단, \(\lim a_n\)이 수렴하고 \(g(\lim a_n) \neq 0\)) - 극한값 계산 방법:
- 극한값을 \(\alpha\)로 치환하여 방정식을 풀어 구하는 방법.
- 일반항 \(b_n\)의 극한값이 0임을 이용하여, \(a_n\)을 \(b_n\)으로 표현한 뒤 극한을 계산하는 방법.
급수 \(\sum b_n\)의 수렴 값 자체(여기서는 2)는 \(\lim b_n = 0\)이라는 사실 외에는 \(\lim a_n\)을 구하는 데 직접 사용되지 않는다는 점에 유의해야 합니다.
✅ 최종 정답
④ \(\frac{6}{5}\)