삼각비 tan 22.5° 값 구하기 문제 풀이
(오른쪽 그림과 같이 \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle B = 22.5^\circ\)인 직각삼각형 ABC의 변 BC 위에 \(\angle ADC = 45^\circ\)가 되도록 점 D를 잡을 때)
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 특수각(45°)과 주어진 각(22.5°)을 이용하여 다른 각(22.5°)의 삼각비 값을 구하는 기하 문제입니다. 보조적인 삼각형의 성질을 이용하여 변의 길이를 설정하고, 최종적으로 큰 직각삼각형에서 탄젠트의 정의를 이용하는 전략을 사용합니다.
- \(\triangle ADC\) 분석: 주어진 각(\(\angle C=90^\circ, \angle ADC=45^\circ\))을 이용하여 \(\triangle ADC\)가 직각이등변삼각형임을 파악하고, 변의 길이를 미지수 \(a\)로 설정합니다. (\(\overline{AC} = \overline{CD} = a\))
- \(\overline{AD}\) 길이 계산: \(\triangle ADC\)에서 피타고라스 정리 또는 특수각(45°) 삼각비를 이용하여 \(\overline{AD}\)의 길이를 \(a\)로 표현합니다.
- \(\triangle ABD\) 분석: 삼각형의 외각 성질 (\(\angle ADC = \angle B + \angle BAD\))을 이용하여 \(\angle BAD\)의 크기를 구합니다.
- \(\triangle ABD\) 종류 파악: 계산된 각을 이용하여 \(\triangle ABD\)가 이등변삼각형임을 확인하고, \(\overline{BD}\)의 길이를 \(\overline{AD}\)와 같다고 설정합니다.
- \(\overline{BC}\) 길이 계산: \(\overline{BC} = \overline{BD} + \overline{CD}\) 관계를 이용하여 \(\overline{BC}\)의 길이를 \(a\)로 표현합니다.
- \(\tan 22.5^\circ\) 계산: 큰 직각삼각형 ABC에서 탄젠트의 정의 \(\tan B = \frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}\)를 이용하여 \(\tan 22.5^\circ\) 값을 구합니다.
- 분모 유리화: 계산 결과의 분모에 무리수가 있으면 유리화하여 최종 답을 구합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(\triangle ADC\) 분석 및 변 길이 설정
삼각형 ADC에서 \(\angle C = 90^\circ\)이고 \(\angle ADC = 45^\circ\)입니다.
삼각형의 내각의 합은 180°이므로, \(\angle CAD = 180^\circ – 90^\circ – 45^\circ = 45^\circ\)입니다.
두 밑각의 크기(\(\angle ADC, \angle CAD\))가 모두 45°로 같으므로, \(\triangle ADC\)는 \(\overline{AC} = \overline{CD}\)인 직각이등변삼각형입니다.
계산의 편의를 위해 \(\overline{AC} = \overline{CD} = a\)라고 설정합니다. (단, \(a > 0\))
Step 2: \(\overline{AD}\) 길이 계산
직각삼각형 ADC에서 피타고라스 정리를 이용하거나, 45°-45°-90° 삼각형의 변의 길이 비율 (1:1:\(\sqrt{2}\))을 이용합니다.
$$ \overline{AD} = \sqrt{\overline{AC}^2 + \overline{CD}^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} $$
Step 3: \(\angle BAD\) 크기 계산 (외각 성질 이용)
삼각형 ABD에서 \(\angle ADC\)는 \(\angle B\)의 외각입니다.
삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같습니다.
$$ \angle ADC = \angle B + \angle BAD $$
주어진 값을 대입합니다.
$$ 45^\circ = 22.5^\circ + \angle BAD $$
따라서 \(\angle BAD\)는 다음과 같습니다.
$$ \angle BAD = 45^\circ – 22.5^\circ = 22.5^\circ $$
Step 4: \(\triangle ABD\) 종류 파악 및 \(\overline{BD}\) 길이 계산
삼각형 ABD에서 \(\angle B = 22.5^\circ\)이고, Step 3에서 구한 \(\angle BAD = 22.5^\circ\)입니다.
두 밑각의 크기가 같으므로, \(\triangle ABD\)는 \(\overline{BD} = \overline{AD}\)인 이등변삼각형입니다.
Step 2에서 \(\overline{AD} = a\sqrt{2}\)이므로,
$$ \overline{BD} = \overline{AD} = a\sqrt{2} $$
Step 5: \(\overline{BC}\) 길이 계산
선분 BC의 길이는 선분 BD와 선분 CD의 길이의 합입니다.
$$ \overline{BC} = \overline{BD} + \overline{CD} $$
Step 1과 Step 4에서 구한 값을 대입합니다.
$$ \overline{BC} = a\sqrt{2} + a = a(\sqrt{2} + 1) $$
Step 6: \(\tan 22.5^\circ\) 계산
이제 큰 직각삼각형 ABC에서 \(\angle B = 22.5^\circ\)에 대한 탄젠트 값을 구합니다.
탄젠트의 정의는 (높이) / (밑변) 입니다.
$$ \tan B = \tan 22.5^\circ = \frac{\overline{AC}}{\overline{BC}} $$
Step 1과 Step 5에서 구한 값을 대입합니다.
$$ \tan 22.5^\circ = \frac{a}{a(\sqrt{2} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} $$
Step 7: 분모 유리화
계산 결과의 분모에 무리수가 있으므로, 분모의 켤레(\(\sqrt{2} – 1\))를 분모와 분자에 곱하여 유리화합니다.
$$ \tan 22.5^\circ = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} – 1}{\sqrt{2} – 1} $$
$$ = \frac{\sqrt{2} – 1}{(\sqrt{2})^2 – 1^2} $$
$$ = \frac{\sqrt{2} – 1}{2 – 1} $$
$$ = \frac{\sqrt{2} – 1}{1} = \sqrt{2} – 1 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 삼각비의 정의와 삼각형의 성질(직각이등변삼각형, 이등변삼각형, 외각 성질)을 종합적으로 활용하여 특정 각의 삼각비 값을 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 삼각비의 정의 (직각삼각형): \(\tan \theta = \frac{\text{대변 (높이)}}{\text{밑변}}\).
- 직각이등변삼각형: 두 변의 길이가 같고, 두 밑각이 45°인 직각삼각형. 변의 비율은 \(1:1:\sqrt{2}\).
- 이등변삼각형: 두 변의 길이가 같거나 두 밑각의 크기가 같은 삼각형.
- 삼각형의 외각 성질: 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같습니다.
- 분모의 유리화: 분모에 무리수가 있을 때, 분모와 분자에 적절한 식(주로 켤레)을 곱하여 분모를 유리수로 만드는 과정. \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) 공식을 자주 사용합니다.
특수각이 아닌 각(22.5°)의 삼각비 값을 구할 때, 그림과 같이 보조선을 긋거나 주어진 도형의 성질을 이용하여 특수각을 포함하는 삼각형들과의 관계를 통해 변의 길이를 설정하고 구하는 전략이 유용합니다.
✅ 최종 정답
④ \(\sqrt{2} – 1\)