📌 문제 정확히 이해하기
다음과 같은 조건이 주어졌습니다.
- 양수 \( k \)의 다섯제곱근 중 실수인 것을 \( a \)라 한다.
- \( a \)의 여섯제곱근 중 양수인 것은 \( \sqrt[6]{25} \)이다.
이 때, 양수 \( k \)의 값을 구하세요.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 문제의 조건을 방정식 형태로 표현하기
첫 번째 조건에서 다섯제곱근은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
\[ a = \sqrt[5]{k} \quad\Rightarrow\quad a = k^{\frac{1}{5}} \][Step 2] 두 번째 조건을 방정식 형태로 표현하기
두 번째 조건을 지수 형태로 나타내면,
\[ \sqrt[6]{a} = \sqrt[6]{25} \]이를 다시 정리하면,
\[ a^{\frac{1}{6}} = 25^{\frac{1}{6}} \]여기서 \(25 = 5^2\)이므로,
\[ a^{\frac{1}{6}} = (5^2)^{\frac{1}{6}} = 5^{\frac{1}{3}} \][Step 3] 위 두 조건을 이용하여 \( k \) 구하기
첫 번째 식 \( a = k^{\frac{1}{5}} \)를 두 번째 식에 대입하면,
\[ \left(k^{\frac{1}{5}}\right)^{\frac{1}{6}} = 5^{\frac{1}{3}} \]간단히 정리하면,
\[ k^{\frac{1}{30}} = 5^{\frac{1}{3}} \]양변을 30제곱하여 \(k\)를 구하면,
\[ k = \left(5^{\frac{1}{3}}\right)^{30} = 5^{10} \]🎯 최종 정답 확인하기
최종 정답은 보기 ⑤번입니다.
\[ \boxed{5^{10}} \]