📌 문제 요약
다항함수 \( f(x) \)에 대해 다음 조건이 주어졌습니다:
\[ \int_0^x f(t)\,dt = x^4 + 3x \int_0^1 f(t)\,dt \]
이때 \( f(1) \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이
🔵 Step 1. 전체 적분값을 문자 \( k \)로 두기
문제에 있는 \( \int_0^1 f(t)\,dt \)를 하나의 상수 \( k \)라고 놓습니다.
\[ \int_0^1 f(t)\,dt = k \]
그럼 원래 주어진 식은 이렇게 바꿀 수 있습니다:
\[ \int_0^x f(t)\,dt = x^4 + 3kx \tag{1} \]
🔵 Step 2. 양변에 \( x = 1 \)을 대입해서 \( k \) 값 구하기
식 (1)에 \( x = 1 \)을 대입하면 다음과 같이 됩니다.
\[ \int_0^1 f(t)\,dt = 1^4 + 3k = 1 + 3k \]
그런데 왼쪽도 \( \int_0^1 f(t)\,dt = k \)이므로,
\[ k = 1 + 3k \Rightarrow -2k = 1 \Rightarrow k = -\frac{1}{2} \]
🔵 Step 3. 다시 식 (1)에 \( k = -\frac{1}{2} \)를 대입
\[ \int_0^x f(t)\,dt = x^4 + 3x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = x^4 – \frac{3}{2}x \tag{2} \]
🔵 Step 4. 양변을 \( x \)에 대해 미분하여 \( f(x) \) 구하기
양변을 \( x \)에 대해 미분하면, 좌변은 정의에 따라 \( f(x) \)가 되고,
우변은 미분해서 다음과 같이 됩니다:
\[ f(x) = \frac{d}{dx}\left(x^4 – \frac{3}{2}x\right) = 4x^3 – \frac{3}{2} \]
🔵 Step 5. \( f(1) \) 값 구하기
\[ f(1) = 4(1)^3 – \frac{3}{2} = 4 – \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \]
🧠 마무리 개념 정리
- 적분식이 주어졌을 때, 모르는 적분 구간 값을 문자로 두고 대입하여 해결 가능
- 함수의 정적분과 미분의 관계를 통해 \( f(x) \)를 도출할 수 있음:
- \( \frac{d}{dx} \left( \int_0^x f(t)\,dt \right) = f(x) \)
- 정적분 안의 값을 문자로 두고 대입하여 식의 일치를 통해 상수값 \( k \)를 찾아내는 것이 핵심!
✅ 최종 정답
정답: ⑤번, \( \boxed{\frac{5}{2}} \)