📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 변수 \(a\)와 \(b\)의 부호 조건(\(a > 0, b < 0\)) 하에서, 제곱근을 포함한 식 \( \sqrt{(-2a)^2} \times \sqrt{(3b)^2} - \sqrt{(-4ab)^2} \) 을 간단히 하는 문제입니다. 이 문제를 풀기 위한 핵심 전략은 제곱근의 성질 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 이용하고, 주어진 부호 조건을 사용하여 각 항의 절댓값을 푸는 것입니다.
- 제곱근 성질 적용: 식의 각 항 \( \sqrt{(-2a)^2} \), \( \sqrt{(3b)^2} \), \( \sqrt{(-4ab)^2} \) 에 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 성질을 적용하여 절댓값 형태로 변환합니다.
- 절댓값 내부 부호 판단: 주어진 조건 \(a > 0\) 와 \(b < 0\) 을 이용하여 각 절댓값 기호 안의 식(\(-2a\), \(3b\), \(-4ab\))의 부호를 판단합니다.
- 절댓값 풀기: 판단된 부호에 따라 절댓값 기호를 제거합니다.
- 절댓값 안이 양수(\(\ge 0\))이면 그대로 나옵니다: \( |k| = k \)
- 절댓값 안이 음수(\(< 0\))이면 마이너스 부호를 붙여 나옵니다: \( |k| = -k \)
- 최종 식 계산: 절댓값을 푼 결과들을 원래 식에 대입하고 곱셈과 뺄셈을 계산 순서에 맞게 수행하여 식을 간단히 합니다.
핵심 공식 및 성질:
- \( \sqrt{k^2} = |k| \)
- 절댓값의 정의: \( |k| = \begin{cases} k & (k \ge 0) \\ -k & (k < 0) \end{cases} \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 각 항을 절댓값 형태로 변환
주어진 식은 \( \sqrt{(-2a)^2} \times \sqrt{(3b)^2} – \sqrt{(-4ab)^2} \) 입니다.
제곱근 성질 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 각 항에 적용합니다.
$$ \sqrt{(-2a)^2} = |-2a| $$
$$ \sqrt{(3b)^2} = |3b| $$
$$ \sqrt{(-4ab)^2} = |-4ab| $$
따라서 주어진 식은 다음과 같이 변형됩니다.
$$ |-2a| \times |3b| – |-4ab| $$
Step 2: 각 절댓값 안의 부호 판단
주어진 조건은 \(a > 0\) 이고 \(b < 0\) 입니다.
- \(-2a\): 양수 \(a\)에 음수 -2를 곱했으므로, \( -2a < 0 \) (음수) 입니다.
- \(3b\): 음수 \(b\)에 양수 3을 곱했으므로, \( 3b < 0 \) (음수) 입니다.
- \(-4ab\): 양수 \(a\)와 음수 \(b\)의 곱 \(ab\)는 음수(\(ab < 0\))입니다. 여기에 음수 -4를 곱하면, (\(-4\) × (음수)) 이므로, \( -4ab > 0 \) (양수) 입니다.
Step 3: 절댓값 풀기
Step 2에서 판단한 부호를 바탕으로 절댓값 기호를 제거합니다.
- \(|-2a|\): \(-2a\)가 음수이므로, \(|-2a| = -(-2a) = 2a\).
- \(|3b|\): \(3b\)가 음수이므로, \(|3b| = -(3b) = -3b\).
- \(|-4ab|\): \(-4ab\)가 양수이므로, \(|-4ab| = -4ab\).
Step 4: 최종 식 계산 및 정리
Step 1에서 변형된 식 \( |-2a| \times |3b| – |-4ab| \) 에 Step 3에서 계산한 결과를 대입합니다.
$$ (2a) \times (-3b) – (-4ab) $$
곱셈을 먼저 계산합니다.
$$ = -6ab – (-4ab) $$
괄호를 풀고 정리합니다.
$$ = -6ab + 4ab $$
동류항을 계산합니다.
$$ = (-6 + 4)ab = -2ab $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 제곱근의 중요한 성질인 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 와 절댓값의 정의를 정확히 이해하고 적용하는 능력을 평가합니다.
- 근호와 제곱 처리: \( \sqrt{k^2} \) 형태는 반드시 \(|k|\)로 변환해야 합니다.
- 부호 판단: 주어진 변수의 부호 조건(\(a>0, b<0\))을 이용하여 절댓값 안의 식의 부호를 정확히 판단하는 것이 핵심입니다.
- 양수 × 양수 = 양수
- 음수 × 음수 = 양수
- 양수 × 음수 = 음수
- 절댓값 계산: 판단된 부호에 따라 \(|k| = k\) (k가 0 이상) 또는 \(|k| = -k\) (k가 음수) 규칙을 적용하여 절댓값 기호를 없앱니다.
- 대수적 정리: 최종적으로 얻어진 식을 동류항끼리 묶어 간단히 정리합니다.
특히 절댓값 안의 부호 판단과 그에 따른 절댓값 처리가 정확해야 올바른 결과를 얻을 수 있습니다.
✅ 최종 정답
\(a > 0, b < 0\) 일 때, \( \sqrt{(-2a)^2} \times \sqrt{(3b)^2} - \sqrt{(-4ab)^2} = |-2a| \times |3b| - |-4ab| = (2a) \times (-3b) - (-4ab) = -6ab + 4ab = -2ab \) 입니다.
따라서 정답은 \( -2ab \) 입니다.