📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 식 \( \sqrt{\frac{160}{x}} \) 이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 \(x\)의 값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위한 핵심 전략은 제곱근의 성질을 이용하는 것입니다.
- 제곱근이 자연수가 될 조건: \( \sqrt{N} \) 이 자연수가 되려면, 근호 안의 수 \(N\)이 어떤 자연수의 제곱, 즉 완전제곱수여야 합니다. 따라서, \( \frac{160}{x} \) 이 완전제곱수가 되어야 합니다.
- 소인수분해 활용: \( \frac{160}{x} \) 이 완전제곱수가 되기 위한 조건을 찾기 위해, 먼저 160을 소인수분해합니다.
- 지수 조건 분석: 완전제곱수는 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수입니다. 160을 소인수분해한 결과와 \(x\)를 이용하여 \( \frac{160}{x} \) 의 모든 소인수 지수가 짝수가 되도록 하는 \(x\)의 조건을 찾습니다.
- \(x\)의 조건 만족: \(x\)는 자연수이므로 160의 약수여야 하며, \( \frac{160}{x} \) 를 완전제곱수로 만들어야 합니다. 이를 위해 \(x\)는 160의 소인수 중 지수가 홀수인 것들을 약분하여 없애고, 남은 소인수들의 지수를 짝수로 만들어야 합니다.
- 가장 작은 \(x\) 찾기: 위 조건을 만족하는 \(x\) 중에서 가장 작은 자연수를 찾습니다. 이는 160의 소인수 중 지수가 홀수인 것들만 약분하는 경우에 해당합니다.
핵심 개념:
- \( \sqrt{N} \) 이 자연수 \(\iff\) \(N\)은 완전제곱수 (단, N > 0)
- \(N\)이 완전제곱수 \(\iff\) \(N\)을 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 제곱근이 자연수가 될 조건 확인
\( \sqrt{\frac{160}{x}} \) 이 자연수가 되려면, 근호 안의 값 \( \frac{160}{x} \) 이 어떤 자연수의 제곱(완전제곱수)이어야 합니다.
또한, \(x\)는 자연수이므로 \(x > 0\) 이고, \(\frac{160}{x}\)도 양수입니다. 그리고 \(x\)는 160을 나누어 떨어뜨려야 하므로 160의 약수입니다.
Step 2: 160 소인수분해
근호 안의 수 160을 소인수분해합니다.
$$ 160 = 16 \times 10 = (2^4) \times (2 \times 5) = 2^5 \times 5^1 $$
따라서 식은 \( \sqrt{\frac{2^5 \times 5^1}{x}} \) 입니다.
Step 3: \( \frac{2^5 \times 5^1}{x} \) 이 완전제곱수가 될 조건 분석
\( \frac{2^5 \times 5^1}{x} \) 이 완전제곱수가 되려면, \(x\)로 나눈 후 결과의 모든 소인수(여기서는 2와 5)의 지수가 짝수가 되어야 합니다.
- 현재 소인수 2의 지수는 5 (홀수) 입니다.
- 현재 소인수 5의 지수는 1 (홀수) 입니다.
\(x\)는 이 홀수 지수들을 짝수로 만들어야 합니다.
- 2의 지수 5를 짝수로 만들기 위해, \(x\)는 \(2^1\) 또는 \(2^3\) 또는 \(2^5\) 와 같이 2를 홀수 개만큼 인수로 가져야 합니다.
- 5의 지수 1을 짝수로 만들기 위해, \(x\)는 \(5^1\) 또는 \(5^3\) 등과 같이 5를 홀수 개만큼 인수로 가져야 합니다. (단, x는 160의 약수이므로 \(5^1\)만 가능)
Step 4: 가장 작은 자연수 \(x\) 결정
\( \frac{2^5 \times 5^1}{x} \) 의 모든 지수를 짝수로 만드는 가장 작은 자연수 \(x\)는, 원래 지수가 홀수인 소인수들을 딱 한 개씩만 약분하는 것입니다.
지수가 홀수인 소인수는 \(2^1\) 과 \(5^1\) 입니다.
따라서 가장 작은 \(x\)는 이 두 소인수의 곱입니다.
$$ x = 2^1 \times 5^1 = 10 $$
Step 5: 확인
\(x=10\) 일 때, 주어진 식의 값을 계산해 봅니다.
$$ \sqrt{\frac{160}{10}} = \sqrt{16} $$
\( \sqrt{16} = 4 \) 이고, 4는 자연수입니다.
따라서 \(x=10\)은 조건을 만족하는 가장 작은 자연수입니다.
(참고: \(x\)는 \(10 \times (\text{제곱수})\) 형태가 될 수 있습니다. 예를 들어 \(x = 10 \times 2^2 = 40\) 이면 \( \sqrt{160/40} = \sqrt{4} = 2 \) (자연수). \(x = 10 \times 4^2 = 160\) 이면 \( \sqrt{160/160} = \sqrt{1} = 1 \) (자연수). 이 중 가장 작은 것은 10입니다.)
🧠 마무리 개념 정리
\( \sqrt{\frac{A}{x}} \) (또는 \( \sqrt{A \times x} \) ) 형태의 식이 자연수가 되도록 하는 \(x\)를 찾는 문제는 다음 단계를 따릅니다.
- 주어진 수 \(A\)를 소인수분해합니다.
- 모든 소인수의 지수가 짝수가 되도록 만드는 \(x\)의 조건을 찾습니다.
- \( \sqrt{\frac{A}{x}} \) 의 경우: \(x\)는 \(A\)의 소인수 중 지수가 홀수인 것들을 (최소한) 하나씩 포함해야 합니다.
- \( \sqrt{A \times x} \) 의 경우: \(x\)는 \(A\)의 소인수 중 지수가 홀수인 것들을 (최소한) 하나씩 포함해야 합니다.
- 찾아야 하는 \(x\)가 “가장 작은 자연수”인 경우, 위의 최소 조건만 만족하는 \(x\)를 구합니다. 즉, “(A에서 지수가 홀수인 소인수들의 곱)”이 됩니다.
- 만약 “가능한 \(x\) 값을 모두 구하라”거나 “두 번째로 작은 \(x\)” 등을 묻는다면, 가장 작은 \(x\) 값에 \( (\text{다른 자연수})^2 \) 를 곱한 형태 (\(x = x_{min} \times k^2\))도 고려해야 합니다. (단, \( \sqrt{\frac{A}{x}} \) 에서는 \(x\)가 \(A\)의 약수여야 함)
소인수분해와 지수 법칙, 완전제곱수의 조건을 정확히 이해하는 것이 핵심입니다.
✅ 최종 정답
\( \sqrt{\frac{160}{x}} \) 이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 \(x\)는 10입니다.