📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 식 \( \sqrt{43 – x} \) 가 정수가 되도록 하는 자연수 \(x\)의 개수를 구하는 문제입니다. 이전 문제들과 달리 ‘자연수’가 아닌 ‘정수’가 되도록 하는 조건임에 유의해야 합니다. 풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 식이 정수가 될 조건: \( \sqrt{N} \) 이 정수가 되려면, 근호 안의 수 \(N\)이 어떤 정수의 제곱이어야 합니다. 정수의 제곱은 0 또는 양의 완전제곱수입니다. 따라서, \( 43 – x \) 는 0 또는 완전제곱수(\(1^2, 2^2, 3^2, …\))가 되어야 합니다.
- \(x\) 및 \(43-x\)의 범위 설정: \(x\)는 자연수이므로 \(x \ge 1\) 입니다. 따라서 \(43 – x \le 43 – 1 = 42\) 입니다. 또한, 근호 안의 값은 음수가 될 수 없으므로 \(43 – x \ge 0\) 입니다. 즉, \( 43 – x \) 는 0 이상 42 이하의 정수의 제곱이어야 합니다.
- 가능한 정수의 제곱 찾기: 0 이상 42 이하의 정수의 제곱(\(n^2\))을 모두 찾습니다.
- 방정식 풀기: \( 43 – x \) 가 각 정수의 제곱(\(n^2\))이 되도록 하는 \(x\) 값을 각각 계산합니다. (\( 43 – x = n^2 \implies x = 43 – n^2 \))
- 자연수 \(x\) 선별: 계산된 \(x\) 값 중에서 자연수인 것만 모두 찾습니다. (이 문제에서는 모든 경우가 자연수가 됩니다.)
- 개수 계산: 선별된 자연수 \(x\) 값들의 개수를 셉니다.
핵심 개념:
- \( \sqrt{N} \) 이 정수 \(\iff\) \(N\)은 (0 또는 양의 완전제곱수) 즉, \(N = n^2\) (단, \(n\)은 0 또는 자연수)
- 정수의 제곱: \(0^2=0, 1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, …\)
이전 문제들과의 차이점은 결과가 ‘자연수’가 아니라 ‘정수’여도 되므로, 근호 안의 값이 0이 되는 경우(\(\sqrt{0} = 0\))도 포함해야 한다는 것입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 식이 정수가 될 조건 및 범위 설정
\( \sqrt{43 – x} \) 가 정수가 되려면, 근호 안의 값 \( 43 – x \) 가 어떤 정수 \(n\)의 제곱(\(n^2\))이어야 합니다. 여기서 \(n\)은 0 또는 자연수입니다.
$$ 43 – x = n^2 \quad (\text{단, } n\text{은 0 또는 자연수}) $$
\(x\)는 자연수(\(x \ge 1\))이므로 \(43 – x \le 43 – 1 = 42\) 입니다.
또한 근호 안의 값은 음수가 될 수 없으므로 \(43 – x \ge 0\) 입니다.
따라서 \(n^2 = 43 – x\) 는 0 이상 42 이하인 정수의 제곱이어야 합니다.
$$ 0 \le n^2 \le 42 $$
Step 2: 가능한 정수의 제곱 \(n^2\) 찾기
0 이상 42 이하인 정수의 제곱(\(n^2\))을 찾습니다.
- \( 0^2 = 0 \)
- \( 1^2 = 1 \)
- \( 2^2 = 4 \)
- \( 3^2 = 9 \)
- \( 4^2 = 16 \)
- \( 5^2 = 25 \)
- \( 6^2 = 36 \)
- \( 7^2 = 49 \) (42보다 크므로 제외)
따라서 \( 43 – x \) 가 될 수 있는 값은 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 입니다.
Step 3: 각 경우에 대한 \(x\) 값 계산
\( 43 – x = n^2 \) 방정식을 각 \(n^2\) 값에 대해 풀어 \(x = 43 – n^2\) 를 계산합니다.
- \( n^2 = 0 \) 일 때: \( x = 43 – 0 = 43 \)
- \( n^2 = 1 \) 일 때: \( x = 43 – 1 = 42 \)
- \( n^2 = 4 \) 일 때: \( x = 43 – 4 = 39 \)
- \( n^2 = 9 \) 일 때: \( x = 43 – 9 = 34 \)
- \( n^2 = 16 \) 일 때: \( x = 43 – 16 = 27 \)
- \( n^2 = 25 \) 일 때: \( x = 43 – 25 = 18 \)
- \( n^2 = 36 \) 일 때: \( x = 43 – 36 = 7 \)
Step 4: 자연수 \(x\) 값 확인 및 개수 계산
Step 3에서 계산된 모든 \(x\) 값(43, 42, 39, 34, 27, 18, 7)은 자연수입니다.
따라서 조건을 만족하는 자연수 \(x\)는 총 7개입니다.
🧠 마무리 개념 정리
\( \sqrt{A – x} \) 형태의 식이 정수가 되도록 하는 자연수 \(x\)의 개수를 구하는 문제는 다음 단계를 따릅니다.
- 근호 안의 식 \(A – x\) 가 0 또는 양의 완전제곱수(\(n^2\))가 되어야 함을 인지합니다.
- \(x\)가 자연수라는 조건으로부터 \(A – x\) 가 될 수 있는 정수의 제곱 \(n^2\)의 범위를 설정합니다. (\(0 \le A – x < A\))
- 범위 내의 모든 가능한 정수의 제곱 \(n^2\)를 찾습니다. (\(0^2, 1^2, 2^2, …\))
- \( A – x = n^2 \) 방정식을 풀어 각 \(n^2\)에 해당하는 \(x\) 값을 구합니다.
- 계산된 \(x\) 값 중 자연수인 것만 모두 선별합니다.
- 선별된 자연수 \(x\) 값의 개수를 셉니다.
결과가 ‘자연수’가 아닌 ‘정수’여도 되는 경우, 근호 안이 0이 되는 케이스(\(n=0\))를 포함해야 함을 잊지 말아야 합니다.
✅ 최종 정답
\( \sqrt{43 – x} \) 가 정수가 되도록 하는 자연수 \(x\)는 7, 18, 27, 34, 39, 42, 43으로 총 7개입니다.
따라서 정답은 ④번입니다.