📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 두 식 \( \sqrt{21 – x} \) 와 \( \sqrt{12x} \) 가 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 \(x\)의 값을 구하는 문제입니다. 두 조건을 동시에 만족시키는 \(x\)를 찾아야 합니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 조건 1 분석 (\( \sqrt{21 – x} \) 가 자연수):
- \( 21 – x \) 가 완전제곱수(\(1^2, 2^2, 3^2, …\))여야 합니다.
- \(x\)가 자연수(\(x \ge 1\))이므로 \( 21 – x \)는 21보다 작은 완전제곱수 (\( \le 20 \))여야 합니다.
- 가능한 \(21-x\) 값을 찾고, 각각에 해당하는 자연수 \(x\) 값을 모두 구합니다.
- 조건 2 분석 (\( \sqrt{12x} \) 가 자연수):
- \( 12x \) 가 완전제곱수여야 합니다.
- 12를 소인수분해하고(\(12 = 2^2 \times 3\)), \( 12x \) 를 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수가 되도록 하는 자연수 \(x\)의 형태를 찾습니다. (즉, \(x = 3 \times k^2\) 꼴)
- 가능한 \(x\) 값들을 작은 것부터 나열합니다.
- 공통 \(x\) 값 찾기: 조건 1과 조건 2를 만족하는 \(x\) 값들의 목록을 비교하여 두 목록에 공통으로 존재하는 자연수 \(x\) 값을 찾습니다.
핵심 개념:
- \( \sqrt{N} \) 이 자연수 \(\iff\) \(N\)은 완전제곱수 (단, N > 0)
- \(N\)이 완전제곱수 \(\iff\) \(N\)을 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 조건 1 분석 (\( \sqrt{21 – x} \) 가 자연수)
\( \sqrt{21 – x} \) 가 자연수가 되려면, \( 21 – x \) 는 완전제곱수여야 합니다.
\(x\)는 자연수(\(x \ge 1\))이므로, \( 21 – x \le 21 – 1 = 20 \) 입니다.
따라서 \( 21 – x \) 는 1 이상 20 이하의 완전제곱수여야 합니다.
이 범위의 완전제곱수는 \( 1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16 \) 입니다.
각 경우에 대해 자연수 \(x\) 값을 구합니다 (\( x = 21 – (\text{완전제곱수}) \)):
- \( 21 – x = 1 \implies x = 21 – 1 = 20 \)
- \( 21 – x = 4 \implies x = 21 – 4 = 17 \)
- \( 21 – x = 9 \implies x = 21 – 9 = 12 \)
- \( 21 – x = 16 \implies x = 21 – 16 = 5 \)
따라서 조건 1을 만족하는 자연수 \(x\)는 {5, 12, 17, 20} 입니다.
Step 2: 조건 2 분석 (\( \sqrt{12x} \) 가 자연수)
\( \sqrt{12x} \) 가 자연수가 되려면, \( 12x \) 는 완전제곱수여야 합니다.
12를 소인수분해하면 \( 12 = 2^2 \times 3^1 \) 입니다.
따라서 \( 12x = 2^2 \times 3^1 \times x \) 입니다.
이것이 완전제곱수가 되려면 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다.
- 소인수 2의 지수는 이미 2 (짝수) 입니다.
- 소인수 3의 지수는 1 (홀수) 입니다. \(x\)는 반드시 \(3^1\) 인수를 가져서 3의 지수를 짝수로 만들어야 합니다.
- \(x\)가 다른 소인수를 가진다면 그 지수도 짝수여야 합니다.
따라서 \(x\)는 \( x = 3 \times k^2 \) (단, \(k\)는 자연수) 의 꼴이어야 합니다.
가능한 \(x\) 값을 작은 것부터 나열하면:
- \( k=1 \) 일 때: \( x = 3 \times 1^2 = 3 \)
- \( k=2 \) 일 때: \( x = 3 \times 2^2 = 3 \times 4 = 12 \)
- \( k=3 \) 일 때: \( x = 3 \times 3^2 = 3 \times 9 = 27 \)
- \( k=4 \) 일 때: \( x = 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48 \)
- … 등등
따라서 조건 2를 만족하는 자연수 \(x\)는 {3, 12, 27, 48, …} 입니다.
Step 3: 공통 \(x\) 값 찾기
Step 1에서 찾은 \(x\) 값의 집합 {5, 12, 17, 20} 과 Step 2에서 찾은 \(x\) 값의 집합 {3, 12, 27, 48, …} 의 공통 원소를 찾습니다.
두 집합에 공통으로 존재하는 값은 12 뿐입니다.
🧠 마무리 개념 정리
두 개 이상의 제곱근 식이 동시에 자연수가 되도록 하는 자연수 \(x\)를 찾는 문제는 각 조건별로 \(x\)가 만족해야 할 사항을 분석한 후, 공통 부분을 찾는 방식으로 해결합니다.
- 각 조건 분석: 각 제곱근 식이 자연수가 되기 위한 조건을 찾습니다.
- \( \sqrt{A – x} \) 형태: \(A-x\)가 \(A\)보다 작은 완전제곱수가 되도록 하는 \(x\)를 찾습니다.
- \( \sqrt{Bx} \) 형태: \(B\)를 소인수분해하고, \(Bx\)가 완전제곱수가 되도록 하는 \(x\)의 형태(\(x = (\text{홀수 지수 소인수들 곱}) \times k^2\))를 찾습니다.
- 가능한 \(x\) 목록 작성: 각 조건을 만족하는 가능한 \(x\) 값들을 목록으로 만듭니다.
- 공통 원소 찾기: 작성된 목록들의 교집합, 즉 공통으로 존재하는 \(x\) 값을 찾습니다.
각 조건에 대한 분석을 체계적으로 수행하고, 마지막에 공통 해를 정확히 찾는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\( \sqrt{21 – x} \) 와 \( \sqrt{12x} \) 가 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 \(x\)의 값은 12입니다.