📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 두 부분으로 구성되어 있습니다.
- 먼저, 부등식 \( 3 \le \sqrt{n} < 3.5 \) 를 만족시키는 자연수 \(n\) 중에서 가장 큰 값(\(a\))과 가장 작은 값(\(b\))을 찾아야 합니다.
- 다음으로, 찾은 \(a\)와 \(b\) 값을 이용하여 \( \sqrt{\frac{a}{b} \times c} \) 가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 \(c\)의 값을 구해야 합니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 부등식 풀이: 부등식 \( 3 \le \sqrt{n} < 3.5 \) 의 각 변을 제곱하여 \(n\)의 범위를 구하고, 그 범위 내의 자연수를 찾습니다.
- \(a, b\) 결정: 찾은 자연수 \(n\) 값들 중에서 가장 큰 값을 \(a\), 가장 작은 값을 \(b\)로 결정합니다.
- 두 번째 조건 분석: \( \sqrt{\frac{a}{b} \times c} \) 가 자연수가 되려면 근호 안의 값 \( \frac{a}{b} \times c \) 가 완전제곱수여야 합니다.
- \(c\)의 형태 결정: \( \frac{a}{b} \) 값을 계산하고 소인수분해하여, \( \frac{a}{b} \times c \) 가 완전제곱수가 되도록 하는 \(c\)의 형태를 찾습니다. (지수가 홀수인 소인수를 짝수로 만들어야 함)
- 가장 작은 \(c\) 찾기: 구한 \(c\)의 형태 중에서 가장 작은 자연수 \(c\) 값을 결정합니다.
핵심 개념:
- 제곱근 부등식: \(0 < A \le \sqrt{N} < B \implies A^2 \le N < B^2\)
- \( \sqrt{K} \) 가 자연수 \(\iff\) \(K\)는 완전제곱수 (단, K > 0)
- \(K\)가 완전제곱수 \(\iff\) \(K\)를 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 부등식 \( 3 \le \sqrt{n} < 3.5 \) 풀기
주어진 부등식은 \( 3 \le \sqrt{n} < 3.5 \) 입니다.
부등식의 모든 변이 양수이므로, 각 변을 제곱해도 부등호의 방향은 유지됩니다.
$$ 3^2 \le (\sqrt{n})^2 < (3.5)^2 $$
각 항을 계산합니다:
- \( 3^2 = 9 \)
- \( (\sqrt{n})^2 = n \)
- \( (3.5)^2 = \left(\frac{35}{10}\right)^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{7^2}{2^2} = \frac{49}{4} = 12.25 \)
따라서 \(n\)의 범위는 다음과 같습니다.
$$ 9 \le n < 12.25 $$
\(n\)은 자연수이므로, 이 범위를 만족하는 \(n\)은 9, 10, 11, 12 입니다.
Step 2: \(a\) 와 \(b\) 값 결정
Step 1에서 구한 자연수 \(n\) 값은 {9, 10, 11, 12} 입니다.
문제에서 \(a\)는 이 중 가장 큰 값, \(b\)는 가장 작은 값이라고 했습니다.
- 가장 큰 값: \( a = 12 \)
- 가장 작은 값: \( b = 9 \)
Step 3: \( \sqrt{\frac{a}{b} \times c} \) 가 자연수가 될 조건 분석
\(a = 12\), \(b = 9\) 를 대입하여 식을 정리합니다.
$$ \sqrt{\frac{a}{b} \times c} = \sqrt{\frac{12}{9} \times c} = \sqrt{\frac{4}{3} \times c} $$
이 값이 자연수가 되려면, 근호 안의 값 \( \frac{4}{3} \times c \) 가 완전제곱수여야 합니다.
\( \frac{4}{3} \times c = \frac{2^2}{3^1} \times c \) 입니다.
이것이 완전제곱수가 되려면 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다.
- 소인수 2의 지수는 이미 2 (짝수) 입니다.
- 소인수 3의 지수는 현재 -1 (분모에 있으므로) 입니다. 이를 짝수(가장 작은 것은 0)로 만들기 위해, \(c\)는 반드시 \(3^1\) 인수를 포함해야 합니다.
- \(c\)가 다른 소인수를 가진다면 그 지수도 짝수여야 합니다.
따라서 \(c\)는 \( c = 3 \times k^2 \) (단, \(k\)는 자연수) 의 꼴이어야 합니다.
Step 4: 가장 작은 자연수 \(c\) 값 구하기
문제에서 가장 작은 자연수 \(c\)를 구하라고 했습니다.
\(c = 3 \times k^2\) 꼴을 만족하는 가장 작은 자연수 \(c\)는 \(k=1\) 일 때입니다.
$$ c = 3 \times 1^2 = 3 \times 1 = 3 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 두 단계의 문제 해결 과정을 포함합니다.
- 제곱근 부등식 풀이: \( A \le \sqrt{n} < B \) 형태의 부등식을 풀 때는 각 변을 제곱하여 \( A^2 \le n < B^2 \) 형태로 변환한 후, 범위 내의 자연수 \(n\)을 찾습니다. 소수 경계값은 분수로 변환하여 제곱하는 것이 정확합니다.
- 제곱근이 자연수가 될 조건: \( \sqrt{K \times c} \) (또는 \( \sqrt{\frac{K}{c}} \) ) 가 자연수가 되려면 \(K \times c\) (또는 \( \frac{K}{c} \) ) 가 완전제곱수여야 합니다. \(K\)를 소인수분해하여 지수가 홀수인 소인수를 파악하고, \(c\)가 이 홀수 지수들을 짝수로 만들어주는 최소한의 인수를 가져야 합니다. 가장 작은 자연수 \(c\)를 찾으려면, 추가적인 제곱수 인수는 \(1^2\)로 설정합니다.
각 단계별 조건을 정확히 이해하고, 특히 완전제곱수가 되기 위한 소인수 지수 조건을 올바르게 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
부등식을 만족하는 가장 큰 자연수 \(n\)은 \(a=12\), 가장 작은 자연수 \(n\)은 \(b=9\)입니다. \( \sqrt{\frac{12}{9} \times c} = \sqrt{\frac{4}{3} \times c} \) 가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 \(c\)는 3입니다.
따라서 정답은 3 입니다.