📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 네 개의 이항식 \((x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)\)을 전개한 결과가 \(x^a + b\) 형태일 때, 상수 \(a, b\) 값을 구하고 \(a-b\)의 값을 계산하는 문제입니다. 이전 문제와 마찬가지로 합차 공식을 연쇄적으로 적용하여 다항식을 전개하는 전략을 사용합니다.
- 합차 공식 적용 (1단계): 처음 두 인수 \((x-1)(x+1)\)에 합차 공식을 적용합니다.
- 합차 공식 적용 (2단계): 1단계 결과와 세 번째 인수 \((x^2+1)\)의 곱에 합차 공식을 적용합니다.
- 합차 공식 적용 (3단계): 2단계 결과와 마지막 인수 \((x^4+1)\)의 곱에 합차 공식을 적용하여 최종 전개식을 얻습니다.
- \(a, b\) 값 결정: 최종 전개식을 주어진 형태 \(x^a + b\)와 비교하여 지수 \(a\)와 상수항 \(b\)의 값을 결정합니다.
- \(a – b\) 계산: 구한 \(a\)와 \(b\)를 이용하여 \(a – b\)의 값을 계산합니다.
합차 공식:
$$ (A – B)(A + B) = A^2 – B^2 $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 처음 두 인수 \((x-1)(x+1)\) 전개
주어진 식은 \((x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)\) 입니다.
합차 공식을 적용합니다 (\(A=x, B=1\)).
$$ (x-1)(x+1) = x^2 – 1^2 = x^2 – 1 $$
이제 식은 다음과 같이 됩니다.
$$ (x^2 – 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) $$
Step 2: 다음 두 인수 \((x^2-1)(x^2+1)\) 전개
다시 합차 공식을 적용합니다. 이번에는 \(A = x^2, B = 1\)입니다.
$$ (x^2 – 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 – 1^2 = x^4 – 1 $$
이제 식은 다음과 같이 됩니다.
$$ (x^4 – 1)(x^4 + 1) $$
Step 3: 마지막 두 인수 \((x^4-1)(x^4+1)\) 전개
마지막으로 합차 공식을 적용합니다. 이번에는 \(A = x^4, B = 1\)입니다.
$$ (x^4 – 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 – 1^2 $$
지수 법칙 \((a^m)^n = a^{mn}\)을 적용합니다.
$$ = x^{4 \times 2} – 1 = x^8 – 1 $$
이것이 최종 전개 결과입니다.
Step 4: \(a, b\) 값 결정
문제에서 최종 전개 결과가 \(x^a + b\) 형태라고 주어졌습니다.
Step 3에서 얻은 결과 \(x^8 – 1\)과 비교합니다.
$$ x^8 – 1 = x^a + b $$
따라서 지수 \(a\)는 8이고, 상수항 \(b\)는 -1입니다.
$$ a = 8, \quad b = -1 $$
Step 5: \(a – b\) 값 계산
구하고자 하는 값은 \(a – b\)입니다.
$$ a – b = 8 – (-1) = 8 + 1 = 9 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 합차 공식 \((A-B)(A+B) = A^2 – B^2\) 을 연쇄적으로 적용하여 다항식을 간단히 전개하고, 그 결과를 주어진 형태와 비교하여 계수 및 지수를 결정하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 합차 공식의 반복 적용: \((A-B)(A+B)(A^2+B^2)(A^4+B^4)\dots\) 형태의 곱셈은 합차 공식을 반복 적용하여 매우 간단하게 만들 수 있습니다.
\((A-B)(A+B) = A^2-B^2\)
\((A^2-B^2)(A^2+B^2) = (A^2)^2-(B^2)^2 = A^4-B^4\)
\((A^4-B^4)(A^4+B^4) = (A^4)^2-(B^4)^2 = A^8-B^8\)
… 와 같이 계속 진행됩니다. - 지수 법칙: 거듭제곱의 거듭제곱 계산 시 지수 법칙 \((a^m)^n = a^{mn}\)을 사용합니다.
- 계수 비교법: 두 다항식이 항등적으로 같을 때, 각 차수의 계수와 상수항이 서로 같다는 성질을 이용하여 미지수를 결정합니다. 이 문제에서는 \(x\)의 지수와 상수항을 비교했습니다.
합차 공식을 효율적으로 활용하여 복잡해 보이는 곱셈을 간단하게 처리하는 능력이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(a – b = 9\)