📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 두 일차식 \((x – \frac{1}{4}y)\)와 \((x + \frac{1}{3}y)\)의 곱을 전개하고, 그 결과를 \(x^2 + axy + by^2\) 형태와 비교하여 상수 \(a, b\) 값을 구한 후 \(a+b\)의 값을 계산하는 문제입니다.
- 곱셈 공식 적용 또는 분배법칙 사용: 두 일차식의 곱셈 공식 \((x+A)(x+B) = x^2 + (A+B)x + AB\) 형태를 변형하여 적용하거나, 분배법칙을 이용하여 좌변을 전개합니다. 여기서는 해설과 같이 공식을 적용하는 방식 ( \(A = -\frac{1}{4}y\), \(B = \frac{1}{3}y\) 로 간주)으로 진행합니다.
- 동류항 정리: 전개된 식에서 \(xy\) 항과 \(y^2\) 항을 찾아 계수를 정리합니다.
- 계수 비교 (\(a, b\) 값 결정): 정리된 전개식을 \(x^2 + axy + by^2\)과 비교하여 \(xy\)의 계수(\(a\))와 \(y^2\)의 계수(\(b\))를 결정합니다.
- \(a + b\) 계산: 구한 \(a\)와 \(b\) 값을 더하여 최종 답을 계산합니다.
두 일차식의 곱 (변형):
$$ (x + Ay)(x + By) = x^2 + (A+B)xy + ABy^2 $$
(또는 분배법칙 사용)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 좌변 전개하기
주어진 식은 \(\left(x – \frac{1}{4}y\right)\left(x + \frac{1}{3}y\right)\) 입니다.
두 일차식의 곱 공식을 적용합니다. 여기서 \(A = -\frac{1}{4}y\), \(B = \frac{1}{3}y\) 로 생각할 수 있습니다.
공식 \((x+A)(x+B) = x^2 + (A+B)x + AB\) 에서 \(x\) 대신 \(x\)를, \(A\) 대신 \(-\frac{1}{4}y\)를, \(B\) 대신 \(\frac{1}{3}y\)를 대입한다고 생각하면,
$$ \left(x – \frac{1}{4}y\right)\left(x + \frac{1}{3}y\right) = (x)^2 + \left(-\frac{1}{4}y + \frac{1}{3}y\right)x + \left(-\frac{1}{4}y\right)\left(\frac{1}{3}y\right) $$
각 항을 계산합니다.
\(x\)항의 계수 계산:
$$ -\frac{1}{4}y + \frac{1}{3}y = \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{3}\right)y = \left(-\frac{3}{12} + \frac{4}{12}\right)y = \frac{1}{12}y $$
따라서 \(x\)항은 \((\frac{1}{12}y)x = \frac{1}{12}xy\) 입니다.
상수항 (여기서는 \(y^2\)항) 계산:
$$ \left(-\frac{1}{4}y\right)\left(\frac{1}{3}y\right) = \left(-\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}\right)(y \times y) = -\frac{1}{12}y^2 $$
전개 결과는 다음과 같습니다.
$$ = x^2 + \frac{1}{12}xy – \frac{1}{12}y^2 $$
(분배법칙 사용: \(x(x+\frac{1}{3}y) – \frac{1}{4}y(x+\frac{1}{3}y) = x^2 + \frac{1}{3}xy – \frac{1}{4}yx – \frac{1}{12}y^2 = x^2 + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4})xy – \frac{1}{12}y^2 = x^2 + \frac{1}{12}xy – \frac{1}{12}y^2\))
Step 2: 계수 비교 (\(a, b\) 값 결정)
Step 1에서 전개한 식 \(x^2 + \frac{1}{12}xy – \frac{1}{12}y^2\)를 문제에서 주어진 형태 \(x^2 + axy + by^2\)와 비교합니다.
각 항의 계수를 비교하면,
- \(xy\)의 계수: \(a = \frac{1}{12}\)
- \(y^2\)의 계수: \(b = -\frac{1}{12}\)
Step 3: \(a + b\) 값 계산
구하고자 하는 값은 \(a + b\)입니다.
$$ a + b = \frac{1}{12} + \left(-\frac{1}{12}\right) $$
$$ = \frac{1}{12} – \frac{1}{12} = 0 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 두 일차식의 곱셈을 정확하게 전개하고, 그 결과를 주어진 다항식과 비교하여 계수를 결정하는 기본적인 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 두 일차식의 곱셈 공식: \((ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd\). 특히, 이 문제처럼 \(x\) 항의 계수가 1인 경우 \((x+A)(x+B) = x^2 + (A+B)x + AB\) 공식을 활용할 수 있습니다. (단, 이 문제에서는 \(A, B\)가 \(y\)를 포함하는 항이었습니다.)
- 분배법칙: 공식을 사용하기 어렵거나 복잡할 경우, 분배법칙 (\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\))을 이용하여 모든 항을 곱한 후 동류항을 정리하는 것이 기본 원리입니다.
- 동류항 정리: 전개 후 문자와 차수가 같은 항들을 찾아 계수를 합하여 식을 간단히 합니다.
- 계수 비교법: 두 다항식이 항등적으로 같을 때, 각 차수의 계수와 상수항은 서로 같다는 성질을 이용하여 미지수의 값을 결정합니다.
다항식의 전개는 기본적인 대수 연산이며, 부호와 계수 계산에 주의하여 정확하게 수행하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
③ 0