📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 두 사람이 다항식 \((ax+2)(3x+b)\)를 전개할 때 각각 다른 계수를 잘못 보고 얻은 결과를 이용하여 원래의 올바른 계수 \(a\), \(b\)를 찾고, 이를 통해 바르게 전개한 식을 구하는 문제입니다.
- 원래 식 전개: 먼저 주어진 다항식 \((ax+2)(3x+b)\)를 전개하여 각 항의 계수를 \(a\)와 \(b\)로 표현합니다.
- 용찬이의 정보 활용: 용찬이는 \(a\)를 잘못 보았지만, \(b\)는 제대로 보았습니다. 용찬이가 얻은 식 \(9x^2 + 3x + c\)의 \(x^2\) 계수를 통해 용찬이가 \(a\)를 무엇으로 잘못 보았는지 추론하고, 이를 이용하여 \(x\) 계수 또는 상수항을 비교함으로써 올바른 \(b\)의 값을 찾습니다. (문제 해설에서는 \(x^2\) 계수를 통해 잘못 본 \(a\)를 추정하고, 이를 이용해 \(x\) 계수 비교로 \(b\)를 찾습니다.)
- 효주의 정보 활용: 효주는 \(b\)를 잘못 보았지만, \(a\)는 제대로 보았습니다. 효주가 얻은 식 \(15x^2 + dx – 8\)의 상수항을 통해 효주가 \(b\)를 무엇으로 잘못 보았는지 추론하고, 이를 이용하여 \(x^2\) 계수 또는 \(x\) 계수를 비교함으로써 올바른 \(a\)의 값을 찾습니다. (문제 해설에서는 상수항을 통해 잘못 본 \(b\)를 추정하고, 이를 이용해 \(x^2\) 계수 비교로 \(a\)를 찾습니다.)
- 바른 식 전개: 찾은 올바른 \(a\)와 \(b\)의 값을 원래 식 \((ax+2)(3x+b)\)에 대입하여 전개합니다.
핵심 원리: 다항식의 곱셈과 항등식
- 다항식 곱셈 (분배법칙): \((A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD\)
- 항등식의 성질 (계수 비교법): 두 다항식이 모든 \(x\) 값에 대해 동일하다면 (항등식), 같은 차수의 항의 계수는 서로 같습니다. 예를 들어, \(px^2 + qx + r = p’x^2 + q’x + r’\) 이 항등식이라면 \(p=p’\), \(q=q’\), \(r=r’\) 입니다.
- 오류 분석: 문제에서 ‘잘못 보았다’는 정보를 이용하여, 어떤 부분의 계산은 올바르고 어떤 부분의 계산은 틀렸는지를 구분하는 것이 중요합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 원래 식 전개
주어진 다항식 \((ax+2)(3x+b)\)를 전개합니다.
$$ (ax+2)(3x+b) = ax(3x+b) + 2(3x+b) $$
$$ = 3ax^2 + abx + 6x + 2b $$
동류항을 정리하면 다음과 같습니다.
$$ = 3ax^2 + (ab+6)x + 2b \quad \cdots ① $$
Step 2: 용찬이의 경우 분석 ( \(a\)를 잘못 봄)
용찬이는 \(a\)를 잘못 보고 전개하여 \(9x^2 + 3x + c\)를 얻었습니다.
① 식의 \(x^2\) 계수는 \(3a\)입니다. 용찬이가 얻은 식의 \(x^2\) 계수는 \(9\)이므로, 용찬이는 \(3 \times (\text{잘못 본 } a) = 9\) 로 계산한 것입니다. 즉, 용찬이가 잘못 본 \(a\)의 값은 \(3\)입니다.
용찬이는 \(b\)는 제대로 보았으므로, ① 식의 \(x\) 계수 \((ab+6)\)와 상수항 \(2b\)에서 \(a\) 대신 잘못 본 값 \(3\)을 사용하고, \(b\)는 원래 값을 사용한 결과가 용찬이가 얻은 식의 \(x\) 계수 \(3\)과 상수항 \(c\)와 같아야 합니다.
\(x\) 계수 비교:
$$ (\text{잘못 본 } a)b + 6 = 3 $$
$$ 3b + 6 = 3 $$
$$ 3b = -3 \quad \therefore b = -1 $$
상수항 비교:
$$ 2b = c $$
\(b=-1\)을 대입하면,
$$ c = 2(-1) = -2 $$
따라서 올바른 \(b\)의 값은 \(-1\)이고, \(c=-2\)입니다.
Step 3: 효주의 경우 분석 ( \(b\)를 잘못 봄)
효주는 \(b\)를 잘못 보고 전개하여 \(15x^2 + dx – 8\)을 얻었습니다.
① 식의 상수항은 \(2b\)입니다. 효주가 얻은 식의 상수항은 \(-8\)이므로, 효주는 \(2 \times (\text{잘못 본 } b) = -8\) 로 계산한 것입니다. 즉, 효주가 잘못 본 \(b\)의 값은 \(-4\)입니다.
효주는 \(a\)는 제대로 보았으므로, ① 식의 \(x^2\) 계수 \(3a\)와 \(x\) 계수 \((ab+6)\)에서 \(b\) 대신 잘못 본 값 \(-4\)를 사용하고, \(a\)는 원래 값을 사용한 결과가 효주가 얻은 식의 \(x^2\) 계수 \(15\)와 \(x\) 계수 \(d\)와 같아야 합니다.
\(x^2\) 계수 비교:
$$ 3a = 15 $$
$$ \therefore a = 5 $$
\(x\) 계수 비교:
$$ a(\text{잘못 본 } b) + 6 = d $$
올바른 \(a=5\)와 잘못 본 \(b=-4\)를 대입하면,
$$ d = 5(-4) + 6 = -20 + 6 = -14 $$
따라서 올바른 \(a\)의 값은 \(5\)이고, \(d=-14\)입니다.
Step 4: 바르게 전개한 식 구하기
Step 2와 Step 3에서 구한 올바른 계수 \(a=5\)와 \(b=-1\)을 원래 식 \((ax+2)(3x+b)\)에 대입합니다.
$$ (5x+2)(3x+(-1)) = (5x+2)(3x-1) $$
이 식을 전개합니다.
$$ (5x+2)(3x-1) = 5x(3x-1) + 2(3x-1) $$
$$ = 15x^2 – 5x + 6x – 2 $$
$$ = 15x^2 + x – 2 $$
따라서 바르게 전개한 식은 \(15x^2 + x – 2\) 입니다.
(참고: Step 2에서 구한 \(c=-2\)와 Step 3에서 구한 \(d=-14\) 값은 최종 답을 구하는 데 직접 사용되지는 않지만, 문제의 모든 상수를 확인하는 과정에서 자연스럽게 구해집니다.)
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식의 전개와 항등식의 성질을 이용하는 문제입니다. 특히, 주어진 정보에서 어떤 부분이 올바른 계수를 사용한 결과이고 어떤 부분이 잘못된 계수를 사용한 결과인지를 정확히 파악하는 것이 중요합니다.
- 다항식 전개: 분배법칙을 이용하여 곱셈을 수행하고 동류항끼리 정리합니다.
- 계수 비교법: 두 다항식이 같다는 조건(항등식)을 이용하여, 각 차수 항의 계수가 서로 같다는 등식을 세웁니다.
- 정보 해석:
- \(a\)를 잘못 보았다는 것은, \(a\)가 포함된 항(\(x^2\)항, \(x\)항)의 계수는 잘못 계산되었을 수 있지만, \(a\)와 무관한 항(\(x\)항의 일부, 상수항)은 \(b\)를 제대로 보았다면 올바르게 계산되었음을 의미합니다.
- \(b\)를 잘못 보았다는 것은, \(b\)가 포함된 항(\(x\)항, 상수항)의 계수는 잘못 계산되었을 수 있지만, \(b\)와 무관한 항(\(x^2\)항, \(x\)항의 일부)은 \(a\)를 제대로 보았다면 올바르게 계산되었음을 의미합니다.
문제의 조건을 바탕으로 올바른 계수(\(a\) 또는 \(b\))를 포함하는 항의 계수를 비교하여 등식을 세우고, 연립하거나 순차적으로 해결하여 미지수 \(a\)와 \(b\)의 값을 찾아내는 것이 풀이의 핵심입니다.
✅ 최종 정답
바르게 전개한 식은 \(15x^2 + x – 2\) 입니다.