📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 식 \((a\sqrt{3}+3)(2\sqrt{3}+6)\)을 계산한 결과가 유리수가 되도록 하는 유리수 \(a\)의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위한 전략은 다음과 같습니다.
- 식 전개: 주어진 두 괄호의 곱을 분배 법칙을 이용하여 전개합니다.
- 유리수/무리수 부분 정리: 전개된 식을 유리수 부분과 \(\sqrt{3}\)을 포함하는 무리수 부분으로 나누어 정리합니다 (\(P + Q\sqrt{3}\) 꼴).
- 유리수 조건 적용: \(a\)가 유리수라는 조건 하에서, 계산 결과(\(P+Q\sqrt{3}\))가 유리수가 되려면 무리수 부분의 계수(\(Q\))가 0이어야 합니다.
- \(a\) 값 계산: 무리수 부분의 계수가 0이 되는 조건을 이용하여 \(a\)에 대한 방정식을 풀어서 \(a\) 값을 구합니다.
무리수가 같을 조건 (무리수 상등):
\(p, q\)가 유리수이고 \(\sqrt{m}\)이 무리수일 때,
- \(p + q\sqrt{m} = 0 \iff p = 0 \text{ 이고 } q = 0\)
- \(p + q\sqrt{m}\)이 유리수가 될 조건은 \(q=0\)이다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 식 전개하기
분배 법칙을 이용하여 \((a\sqrt{3}+3)(2\sqrt{3}+6)\)을 전개합니다.
$$ (a\sqrt{3}+3)(2\sqrt{3}+6) = (a\sqrt{3})(2\sqrt{3}) + (a\sqrt{3})(6) + (3)(2\sqrt{3}) + (3)(6) $$
각 항을 계산합니다.
- \((a\sqrt{3})(2\sqrt{3}) = 2a (\sqrt{3})^2 = 2a \times 3 = 6a\)
- \((a\sqrt{3})(6) = 6a\sqrt{3}\)
- \((3)(2\sqrt{3}) = 6\sqrt{3}\)
- \((3)(6) = 18\)
전개된 결과는:
$$ 6a + 6a\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 18 $$
Step 2: 유리수 부분과 무리수 부분으로 정리하기
Step 1의 결과를 유리수 부분과 \(\sqrt{3}\)을 포함하는 무리수 부분으로 묶습니다.
유리수 부분: \(6a + 18\)
무리수 부분: \(6a\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = (6a + 6)\sqrt{3}\)
따라서 정리된 식은 다음과 같습니다.
$$ (6a + 18) + (6a + 6)\sqrt{3} $$
Step 3: 유리수가 될 조건 적용하기
계산 결과 \((6a + 18) + (6a + 6)\sqrt{3}\)이 유리수가 되어야 합니다.
\(a\)가 유리수이므로 \(6a+18\)과 \(6a+6\)도 유리수입니다.
따라서 무리수 부분의 계수가 0이어야 합니다.
$$ 6a + 6 = 0 $$
Step 4: \(a\) 값 계산하기
Step 3에서 얻은 방정식을 풀어 \(a\) 값을 구합니다.
$$ 6a = -6 $$
$$ a = \frac{-6}{6} = -1 $$
🧠 마무리 개념 정리
무리수를 포함한 식의 계산 결과가 유리수가 되기 위한 조건은 다음과 같습니다.
- 주어진 식을 \(P + Q\sqrt{m}\) (단, \(P, Q\)는 유리수, \(\sqrt{m}\)은 무리수) 꼴로 정리합니다.
- 계산 결과가 유리수가 되려면 무리수 부분의 계수 \(Q\)가 0이어야 합니다 (\(Q=0\)).
- 이 조건을 이용하여 미지수에 대한 방정식을 세우고 풉니다.
이 과정에서 분배 법칙을 이용한 정확한 식의 전개와 동류항 정리가 필요합니다.
✅ 최종 정답
계산 결과가 유리수가 되도록 하는 유리수 \(a\)의 값은 -1입니다.
따라서 정답은 ① 입니다.