📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 무리수 \(\sqrt{80} + \sqrt{169}\)의 값이 수직선 위에서 어떤 두 연속된 정수 \(a\)와 \(a+1\) 사이에 있는지를 파악하고, 그 \(a\) 값을 이용하여 \(2a\)의 값을 구하는 문제입니다.
- 제곱근 계산 및 단순화: \(\sqrt{169}\)의 값을 계산하여 식을 간단히 합니다.
- 무리수 값 추정: \(\sqrt{80}\)이 어떤 두 연속된 정수 사이에 있는지 범위를 추정합니다.
- 전체 식의 범위 추정: \(\sqrt{80}\)의 범위를 이용하여 \(\sqrt{80} + (\text{계산된 } \sqrt{169} \text{ 값})\)의 전체 값의 범위를 부등식으로 나타냅니다.
- 정수 \(a\) 값 결정: 위에서 구한 범위 \(k < \sqrt{80} + \sqrt{169} < k+1\) (여기서 \(k\)는 정수)를 문제의 조건 \(a < \sqrt{80} + \sqrt{169} < a+1\)과 비교하여 \(a\) 값을 찾습니다.
- 최종 값 계산: 찾은 \(a\) 값을 이용하여 \(2a\)를 계산합니다.
제곱근 값 추정 방법:
어떤 수 \(n\)에 대해 \(\sqrt{n}\)의 정수 부분을 찾으려면, \(n\)보다 작거나 같은 가장 큰 제곱수(\(a^2\))와 \(n\)보다 큰 가장 작은 제곱수(\((a+1)^2\))를 찾습니다.
$$ a^2 \le n < (a+1)^2 \implies a \le \sqrt{n} < a+1 $$
부등식의 성질:
\(a < x < b\) 이면, \(a+c < x+c < b+c\) 입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(\sqrt{169}\) 계산
\(13 \times 13 = 169\) 이므로, \(\sqrt{169} = 13\) 입니다.
따라서 주어진 식은 다음과 같이 간단히 할 수 있습니다.
$$ \sqrt{80} + \sqrt{169} = \sqrt{80} + 13 $$
Step 2: \(\sqrt{80}\)의 범위 추정
80에 가까운 제곱수를 찾습니다.
- \(8^2 = 64\)
- \(9^2 = 81\)
\(64 < 80 < 81\) 이므로, 각 변에 양의 제곱근을 취하면 \(\sqrt{64} < \sqrt{80} < \sqrt{81}\) 입니다.
따라서 \(8 < \sqrt{80} < 9\) 입니다.
Step 3: \(\sqrt{80} + 13\)의 범위 추정
Step 2에서 구한 부등식 \(8 < \sqrt{80} < 9\)의 각 변에 13을 더합니다.
$$ 8 + 13 < \sqrt{80} + 13 < 9 + 13 $$
계산하면 \(21 < \sqrt{80} + 13 < 22\) 입니다.
Step 4: 정수 \(a\) 값 결정
Step 3의 결과는 \(\sqrt{80} + \sqrt{169}\)의 값이 21과 22 사이에 있음을 의미합니다.
문제에서 이 값은 두 정수 \(a\)와 \(a+1\) 사이에 있다고 했습니다.
$$ a < \sqrt{80} + \sqrt{169} < a+1 $$
우리가 구한 범위 \(21 < \sqrt{80} + 13 < 22\) 와 비교하면,
\(a = 21\) 임을 알 수 있습니다.
Step 5: \(2a\) 값 계산
문제에서 요구하는 값은 \(2a\)입니다.
\(a = 21\) 이므로,
$$ 2a = 2 \times 21 = 42 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 무리수가 포함된 식의 값을 추정하여, 그 값이 어떤 두 연속된 정수 사이에 위치하는지를 파악하는 문제입니다. 해결을 위해 다음 개념들이 사용되었습니다.
- 제곱근 계산: 제곱하여 특정 수가 되는 값을 찾는 과정 (\(\sqrt{169}=13\)).
- 제곱근 값 추정: 제곱수를 이용하여 제곱근 값의 범위를 파악하는 방법 (\(8 < \sqrt{80} < 9\)).
- 부등식의 성질: 부등식의 각 변에 같은 수를 더해도 부등호의 방향이 유지됨을 이용하여 전체 식의 값의 범위를 구합니다.
- 수직선 위의 위치: 어떤 수 \(x\)가 \(a < x < a+1\) (\(a\)는 정수)를 만족하면, 수 \(x\)는 수직선 위에서 정수 \(a\)와 \(a+1\) 사이에 위치합니다.
먼저 식을 최대한 간단히 하고, 부등식을 이용하여 무리수 부분의 범위를 구한 뒤, 전체 식의 범위를 계산하여 연속된 두 정수를 찾는 단계적인 접근이 필요합니다.
✅ 최종 정답
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