📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 두 자리 자연수 \(n\)에 대하여 \(f(n) = \sqrt{n}\)으로 정의될 때, 수열 \(f(10), f(11), …, f(99)\) 중에서 무리수인 것의 개수를 구하는 문제입니다. \(\sqrt{n}\)의 값이 유리수가 되는 경우와 무리수가 되는 경우를 파악하여 해결합니다.
- 두 자리 자연수의 범위 확인: 문제에서 주어진 \(n\)의 범위를 명확히 합니다 (\(10 \le n \le 99\)).
- 전체 개수 계산: 해당 범위에 속하는 자연수 \(n\)의 총 개수를 계산합니다.
- 유리수 조건 파악: \(f(n) = \sqrt{n}\)이 유리수가 될 조건을 생각합니다. 자연수 \(n\)에 대해 \(\sqrt{n}\)이 유리수가 되려면 \(n\)이 제곱수여야 합니다.
- 범위 내 제곱수 찾기: \(10 \le n \le 99\) 범위에 있는 제곱수를 모두 찾습니다.
- 유리수 개수 계산: 찾은 제곱수의 개수가 곧 \(f(n)\)이 유리수가 되는 경우의 수입니다.
- 무리수 개수 계산: 전체 자연수 개수에서 \(f(n)\)이 유리수가 되는 경우(제곱수의 개수)를 빼면, \(f(n)\)이 무리수가 되는 경우의 수가 나옵니다.
핵심 개념:
자연수 \(n\)에 대하여,
- \(\sqrt{n}\)이 유리수가 될 필요충분조건은 \(n\)이 제곱수인 것입니다.
- \(n\)이 제곱수가 아니면 \(\sqrt{n}\)은 무리수입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 두 자리 자연수 \(n\)의 범위 및 개수 확인
두 자리 자연수는 10부터 99까지의 자연수를 의미합니다.
$$ 10 \le n \le 99 $$
이 범위에 속하는 자연수 \(n\)의 총 개수는
$$ (\text{마지막 수}) – (\text{첫 수}) + 1 = 99 – 10 + 1 = 90 \text{ (개)} $$
따라서 함수 값 \(f(10), f(11), …, f(99)\)은 총 90개가 있습니다.
Step 2: \(f(n) = \sqrt{n}\)이 유리수가 되는 조건 찾기
\(f(n) = \sqrt{n}\)이 유리수가 되려면, \(n\)이 제곱수여야 합니다.
문제의 범위는 \(10 \le n \le 99\) 이므로, 이 범위 내에서 제곱수인 \(n\)을 찾아야 합니다.
Step 3: 범위 \(10 \le n \le 99\) 내의 제곱수 찾기
정수를 제곱하여 10과 99 사이에 있는 수를 찾습니다.
- \(1^2 = 1\) (범위 밖)
- \(2^2 = 4\) (범위 밖)
- \(3^2 = 9\) (범위 밖)
- \(4^2 = 16\) (범위 안)
- \(5^2 = 25\) (범위 안)
- \(6^2 = 36\) (범위 안)
- \(7^2 = 49\) (범위 안)
- \(8^2 = 64\) (범위 안)
- \(9^2 = 81\) (범위 안)
- \(10^2 = 100\) (범위 밖)
따라서 10과 99 사이의 제곱수는 16, 25, 36, 49, 64, 81 입니다.
Step 4: \(f(n)\)이 유리수인 경우의 수 계산
Step 3에서 찾은 제곱수의 개수가 \(f(n) = \sqrt{n}\)이 유리수가 되는 \(n\)의 개수입니다.
제곱수는 총 6개 (16, 25, 36, 49, 64, 81) 입니다.
따라서 \(f(10), …, f(99)\) 중에서 유리수는 6개입니다.
Step 5: \(f(n)\)이 무리수인 경우의 수 계산
무리수인 \(f(n)\)의 개수는 전체 \(f(n)\)의 개수에서 유리수인 \(f(n)\)의 개수를 뺀 것과 같습니다.
$$ (\text{무리수의 개수}) = (\text{전체 개수}) – (\text{유리수의 개수}) $$
Step 1과 Step 4의 결과를 대입합니다.
$$ (\text{무리수의 개수}) = 90 – 6 = 84 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 주어진 범위 내에서 제곱근의 값이 무리수가 되는 경우의 수를 찾는 문제입니다.
- 자연수 \(n\)에 대해 \(\sqrt{n}\)은 \(n\)이 제곱수일 때만 유리수가 되고, \(n\)이 제곱수가 아닐 때는 무리수가 됩니다.
- 문제에서 요구하는 무리수의 개수를 직접 세기보다는, 전체 경우의 수에서 유리수가 되는 경우(즉, \(n\)이 제곱수인 경우)의 수를 빼는 여사건의 방법을 이용하는 것이 더 효율적입니다.
- 범위 내의 개수를 셀 때는 ‘(마지막 수) – (첫 수) + 1’ 공식을 사용합니다.
주어진 범위(\(10 \le n \le 99\))를 정확히 파악하고, 그 범위 내의 제곱수를 빠짐없이 찾는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
84개