문제 1번
자연수 \( a, b \)에 대하여 \( ab \)를 6으로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.
- (가) \( a \)를 6으로 나누었을 때의 나머지는 2이다.
- (나) \( b \)를 6으로 나누었을 때의 나머지는 5이다.
문제 2번
자연수 \( a, b \)에 대하여 \( ab \)를 9로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.
- (가) \( a \)를 9로 나누었을 때의 나머지는 4이다.
- (나) \( b \)를 9로 나누었을 때의 나머지는 7이다.
문제 3번
자연수 \( a, b \)에 대하여 \( ab \)를 8으로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.
- (가) \( a \)를 8으로 나누었을 때의 나머지는 6이다.
- (나) \( b \)를 8으로 나누었을 때의 나머지는 5이다.
문제 4번
자연수 \( a, b \)에 대하여 \( ab \)를 11로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.
- (가) \( a \)를 11으로 나누었을 때의 나머지는 3이다.
- (나) \( b \)를 11로 나누었을 때의 나머지는 6이다.
문제 5번
자연수 \( a, b \)에 대하여 \( ab \)를 10으로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.
- (가) \( a \)를 10으로 나누었을 때의 나머지는 7이다.
- (나) \( b \)를 10으로 나누었을 때의 나머지는 9이다.
풀이 1번
\( a = 6p + 2,\quad b = 6q + 5 \)
\[ ab = (6p + 2)(6q + 5) = 36pq + 30p + 12q + 10 \] \[ = 6(6pq + 5p + 2q + 1) + 4 \]
따라서 나머지는 4
풀이 2번
\( a = 9p + 4,\quad b = 9q + 7 \)
\[ ab = (9p + 4)(9q + 7) = 81pq + 63p + 36q + 28 \] \[ = 9(9pq + 7p + 4q + 3) + 1 \]
따라서 나머지는 1
풀이 3번
\( a = 8p + 6,\quad b = 8q + 5 \)
\[ ab = (8p + 6)(8q + 5) = 64pq + 40p + 48q + 30 \] \[ = 8(8pq + 5p + 6q + 3) + 6 \]
따라서 나머지는 6
풀이 4번
\( a = 11p + 3,\quad b = 11q + 6 \)
\[ ab = (11p + 3)(11q + 6) = 121pq + 66p + 33q + 18 \] \[ = 11(11pq + 6p + 3q + 1) + 7 \]
따라서 나머지는 7
풀이 5번
\( a = 10p + 7,\quad b = 10q + 9 \)
\[ ab = (10p + 7)(10q + 9) = 100pq + 90p + 70q + 63 \] \[ = 10(10pq + 9p + 7q + 6) + 3 \]
따라서 나머지는 3