📌 문제 이해하기
주어진 두 다항식:
\[ A = 2x^2 – xy + y^2, \quad B = 3x^2 + 3xy – y^2 \]주어진 방정식:
\[ A – 2(X – B) = 3A \]이 방정식을 만족하는 다항식 \( X \) 를 구하고, 그 계수 \( a, b, c \) 의 합을 찾는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 방정식 정리하기
주어진 식을 정리해 보겠습니다.
\[ A – 2(X – B) = 3A \]양변을 전개하면:
\[ A – 2X + 2B = 3A \]이제 \( A \) 를 이항합니다.
\[ -2X + 2B = 2A \]양변을 2로 나누어 정리합니다.
\[ – X + B = A \]즉,
\[ X = B – A \][Step 2] \( X \) 를 구하기
이제 \( B – A \) 를 계산합니다.
\[ X = B – A = (3x^2 + 3xy – y^2) – (2x^2 – xy + y^2) \]항별로 정리하면:
- \( x^2 \) 항: \( 3x^2 – 2x^2 = x^2 \)
- \( xy \) 항: \( 3xy – (-xy) = 3xy + xy = 4xy \)
- \( y^2 \) 항: \( -y^2 – y^2 = -2y^2 \)
따라서:
\[ X = x^2 + 4xy – 2y^2 \][Step 3] 계수 찾기
다항식 \( X \) 는:
\[ X = ax^2 + bxy + cy^2 \]여기서 각 항의 계수를 비교하면:
- \( a = 1 \) ( \( x^2 \) 의 계수)
- \( b = 4 \) ( \( xy \) 의 계수)
- \( c = -2 \) ( \( y^2 \) 의 계수)
[Step 4] 최종 답 구하기
\[ a + b + c = 1 + 4 – 2 = 3 \]🎯 최종 정답
따라서, 모든 계수의 합은:
\[ \boxed{3} \]