📌 문제 이해하기
주어진 조건:
\[ x = \sqrt{2} – 1,\quad y = \sqrt{2} + 1 \]다음 값을 구하시오:
\[ \frac{x^4 + y^4}{xy} \]✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] \( x + y \) 와 \( xy \) 계산
\[ x + y = (\sqrt{2} – 1) + (\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2} \] \[ xy = (\sqrt{2} – 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 – 1^2 = 2 – 1 = 1 \][Step 2] \( x^2 + y^2 \) 계산
\[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy = (2\sqrt{2})^2 – 2 \cdot 1 = 8 – 2 = 6 \][Step 3] \( x^4 + y^4 \) 계산
\[ x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 – 2(xy)^2 = 6^2 – 2 \cdot 1 = 36 – 2 = 34 \][Step 4] 문제에서 원하는 값
\[ \frac{x^4 + y^4}{xy} = \frac{34}{1} = 34 \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{34} \]📝 마무리 정리
- \( (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \) 공식을 잘 활용하면 제곱 합 계산이 쉬워짐
- \( x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 – 2(xy)^2 \) 공식을 기억해두면 네제곱 합 계산에 유용함
- \( xy = (\sqrt{2} – 1)(\sqrt{2} + 1) \)은 차의 곱 공식으로 쉽게 처리 가능