📌 문제 이해하기
반지름의 길이가 \( 20\,\text{cm} \)이고, 중심각이 \( 90^\circ \)인 부채꼴 안에 내접한 직사각형이 있습니다.
이 직사각형의 둘레가 \( 48\,\text{cm} \)일 때, 직사각형의 넓이를 \( a\,\text{cm}^2 \)라고 할 때 \( a \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 변수 설정
직사각형의 가로와 세로의 길이를 각각 \( x, y \)라고 하면, 대각선은 부채꼴의 반지름과 같으므로:
\[ x^2 + y^2 = 20^2 = 400 \][Step 2] 둘레 조건 활용
\[ 2(x + y) = 48 \Rightarrow x + y = 24 \][Step 3] 제곱합 공식 적용
제곱합 공식:
\[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy \]대입하면:
\[ 400 = 24^2 – 2xy = 576 – 2xy \] \[ 2xy = 176 \Rightarrow xy = 88 \][Step 4] 직사각형의 넓이
직사각형의 넓이는 \( xy \)이므로:
\[ \boxed{a = 88} \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{88} \]📝 마무리 정리
- 대각선 길이를 반지름과 같다고 보고 피타고라스 정리 적용
- 둘레 조건에서 \( x + y \)를 알아내고, 제곱합 공식을 활용하여 \( xy \)를 계산
- 문제에서 묻는 넓이는 \( xy \)이므로 바로 정답 구할 수 있음