📌 문제 이해하기
다항식
\[ A(x) = x^4 + x^2 + 1,\quad B(x) = x^2 – x \]에 대해, \( A(x) \)를 \( B(x) \)로 나누었을 때의 몫을 \( Q(x) \), 나머지를 \( R(x) \)라 하자.
이제 \( Q(x) \)를 \( R(x) \)로 나누었을 때의 나머지를 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] \( A(x) \div B(x) \) 수행
다항식 나눗셈을 통해 다음과 같이 정리됩니다.
\[ x^4 + x^2 + 1 = (x^2 – x)(x^2 + x + 2) + (2x + 1) \]즉,
\[ Q(x) = x^2 + x + 2,\quad R(x) = 2x + 1 \][Step 2] \( Q(x) \div R(x) \) 수행
이제 \( Q(x) = x^2 + x + 2 \) 를 \( R(x) = 2x + 1 \)로 나누어 봅니다.
- 첫 항: \( x^2 \div 2x = \frac{1}{2}x \)
- 곱한 후 빼기: \( x^2 + x + 2 – (\frac{1}{2}x \cdot (2x + 1)) = \frac{1}{2}x + 2 \)
- 다시 나눔: \( \frac{1}{2}x \div 2x = \frac{1}{4} \)
- 곱하고 빼기: \( \frac{1}{2}x + 2 – (\frac{1}{4} \cdot (2x + 1)) = 2 – \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \)
🎯 최종 정답
\[ \boxed{\frac{7}{4}} \]📝 마무리 정리
- 다항식 나눗셈은 정리된 항의 차수를 기준으로 진행
- 나머지 다항식의 차수가 나누는 다항식보다 작으면 나눗셈이 종료됨
- 다항식 문제에서 몫, 나머지를 다시 이용하는 문제는 고난도 사고력을 요구함