📌 문제 이해하기
다항식
\[ 2x^3 + ax^2 – bx – c \]를 \( x^2 + 1 \)로 나누었을 때, 몫은 \( 2x – 1 \)이고, 나머지는 3이라고 했습니다.
이 조건을 만족하는 상수 \( a, b, c \)의 값을 구하는 것이 이 문제의 목표입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 다항식 나눗셈의 기본 구조
다항식을 \( x^2 + 1 \)로 나눌 때, 나눗셈의 기본 형태는 다음과 같습니다:
\[ 2x^3 + ax^2 – bx – c = (x^2 + 1)(2x – 1) + 3 \][Step 2] 우변 전개하기
오른쪽 식을 전개해 봅시다:
\[ (x^2 + 1)(2x – 1) = 2x^3 – x^2 + 2x – 1 \]여기에 나머지 3을 더하면:
\[ 2x^3 – x^2 + 2x – 1 + 3 = 2x^3 – x^2 + 2x + 2 \][Step 3] 좌변과 우변 비교하기
좌변:
\[ 2x^3 + ax^2 – bx – c \]우변:
\[ 2x^3 – x^2 + 2x + 2 \]이제 동류항끼리 비교합니다.
- \( x^2 \) 항: \( a = -1 \)
- \( -b = 2 \Rightarrow b = -2 \)
- \( -c = 2 \Rightarrow c = -2 \)
🎯 최종 정답
\[ \boxed{a = -1, \quad b = -2, \quad c = -2} \]→ 선택지 ②번이 정답입니다.
📝 마무리 정리
- 나눗셈 결과식을 이용해 등식을 세웠습니다.
- 우변을 전개하고, 좌변과 동류항을 비교하여 계수를 추론했습니다.
- 각 항의 계수를 비교해 \( a, b, c \)의 값을 구할 수 있었습니다.
따라서, 정답은 ②번입니다.