고1수학 - 발전 - 0322 - 6번

문제 이해하기

삼각형 $A B C$ 의 세 변의 길이가 $a, b, c$ 일 때, 다음 조건을 만족한다고 합니다.

(a + b + c) (a + b - c) = \frac{(a + b)^{2} - (a - b)^{2}}{2}

이 조건을 만족할 때, 삼각형 $A B C$ 는 어떤 삼각형인지 알아보는 문제입니다.

\frac{(a + b)^{2} - (a - b)^{2}}{2}

각 항을 전개합니다.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

따라서,

\frac{(a + b)^{2} - (a - b)^{2}}{2} = \frac{(a^{2} + 2 a b + b^{2}) - (a^{2} - 2 a b + b^{2})}{2} = \frac{4 a b}{2} = 2 a b

(a + b + c) (a + b - c)

이는 완전제곱 공식을 이용해 다음과 같이 변형할 수 있습니다.

(a + b)^{2} - c^{2}

전개하면,

a^{2} + 2 a b + b^{2} - c^{2}

a^{2} + 2 a b + b^{2} - c^{2} = 2 a b

좌변에서 2ab를 이항하면,

a^{2} + b^{2} = c^{2}

이는 바로 피타고라스 정리입니다.

즉, 삼각형 ABC는 직각삼각형이며, $c$ 는 빗변입니다.

⑤ c 가 빗변인 직각삼각형