문제
\(x, y, z\)에 대한 다항식 \((x + y + z)^2 + (x + y – z)^2 + (x – y + z)^2\)을 전개한 것으로 옳은 것은?
- \(3x^2 + y^2 + z^2 + 2xy – 2yz + 2zx\)
- \(3x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx\)
- \(3x^2 + 3y^2 + 3z^2 + xy + yz + zx\)
- \(3x^2 + 3y^2 + 3z^2 + 2xy – 2yz + 2zx\)
- \(3x^2 + 3y^2 + 3z^2 + 2xy – 2yz – 2zx\)
풀이
📘 문제 요약
주어진 세 개의 완전제곱식 \((x + y + z)^2\), \((x + y – z)^2\), \((x – y + z)^2\)을 각각 전개한 후 더하여 간단히 하는 문제입니다. 전개 결과가 제시된 5개의 보기 중 어느 것과 일치하는지 찾아야 합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 첫 번째 완전제곱식 \((x + y + z)^2\) 전개
세 항의 완전제곱 공식 \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)를 이용하여 전개합니다. 여기서는 \(a = x\), \(b = y\), \(c = z\)입니다.
$$ (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx $$
Step 2: 두 번째 완전제곱식 \((x + y – z)^2\) 전개
마찬가지로 세 항의 완전제곱 공식을 이용합니다. 여기서는 \(a = x\), \(b = y\), \(c = -z\)로 생각할 수 있습니다.
$$ (x + y – z)^2 = x^2 + y^2 + (-z)^2 + 2(x)(y) + 2(y)(-z) + 2(-z)(x) $$
$$ = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy – 2yz – 2zx $$
Step 3: 세 번째 완전제곱식 \((x – y + z)^2\) 전개
이번에는 \(a = x\), \(b = -y\), \(c = z\)로 생각하고 공식을 적용합니다.
$$ (x – y + z)^2 = x^2 + (-y)^2 + z^2 + 2(x)(-y) + 2(-y)(z) + 2(z)(x) $$
$$ = x^2 + y^2 + z^2 – 2xy – 2yz + 2zx $$
Step 4: 세 식을 모두 더하기
각각 전개한 세 식을 모두 더하여 최종 결과를 얻습니다.
$$ (x + y + z)^2 + (x + y – z)^2 + (x – y + z)^2 $$
$$ = (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx) $$
$$ + (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy – 2yz – 2zx) $$
$$ + (x^2 + y^2 + z^2 – 2xy – 2yz + 2zx) $$
이제 동류항끼리 계산합니다. \(x^2\), \(y^2\), \(z^2\) 항은 각각 세 번 더해집니다.
$$ = (x^2 + x^2 + x^2) + (y^2 + y^2 + y^2) + (z^2 + z^2 + z^2) $$
계수항들을 살펴보면:
$$ + (2xy + 2xy – 2xy) + (2yz – 2yz – 2yz) + (2zx – 2zx + 2zx) $$
이를 정리하면 다음과 같습니다.
$$ = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 + 2xy – 2yz + 2zx $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 기본적인 다항식의 전개, 특히 완전제곱식의 전개 공식을 이해하고 적용할 수 있는지 평가하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 완전제곱 공식 (두 항):
- \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
- 완전제곱 공식 (세 항):
- \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)
- 부호 규칙: 다항식을 전개할 때 각 항의 부호를 정확하게 결정하는 것이 중요합니다. 음수의 제곱은 양수이고, 곱셈에서는 부호가 다른 두 수의 곱은 음수입니다.
- 동류항 정리: 전개 후에는 같은 변수와 차수를 가진 항 (동류항)끼리 더하거나 빼서 식을 간단하게 만들어야 합니다.
이 문제에서는 세 항의 완전제곱 공식을 직접 적용하고, 각 항의 부호 변화에 주의하여 전개한 후 동류항을 정확하게 정리하는 능력이 필요합니다. 복잡해 보이는 식도 기본적인 전개 공식을 차근차근 적용하면 정답을 찾을 수 있습니다.
✅ 최종 정답
④ \(3x^2 + 3y^2 + 3z^2 + 2xy – 2yz + 2zx\)