다항식 전개 계수 구하기 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 다항식 \((4 – 3x + 2x^2 – x^3)^3\)의 전개식에서 \(x^7\)의 계수를 \(a\), \(x^8\)의 계수를 \(b\)라고 할 때, 다항식 \(\{(x + 3)(4 – 3x + 2x^2 – x^3)\}^3\)의 전개식에서 \(x^{10}\)의 계수를 \(a\)와 \(b\)를 이용하여 나타내는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위한 전략은 다음과 같습니다.
- 주어진 정보 활용: 먼저 다항식 \((4 – 3x + 2x^2 – x^3)^3\)의 전개에서 \(x^7\)과 \(x^8\)의 계수가 각각 \(a\)와 \(b\)임을 이해합니다. 실제 전개를 모두 하는 것은 매우 복잡하므로, 이 정보를 그대로 활용해야 합니다.
- 새로운 다항식 변형: 새로운 다항식 \(\{(x + 3)(4 – 3x + 2x^2 – x^3)\}^3\)을 \((x + 3)^3\)과 \((4 – 3x + 2x^2 – x^3)^3\)의 곱으로 변형합니다.
- \((x + 3)^3\) 전개: 이 부분은 비교적 간단하게 전개할 수 있습니다. 이 전개 결과의 각 항이 \((4 – 3x + 2x^2 – x^3)^3\)의 어떤 항과 곱해져서 \(x^{10}\) 항을 만드는지 살펴봅니다.
- \(x^{10}\) 항 생성 조합 찾기: \((x + 3)^3\)의 각 항과 \((4 – 3x + 2x^2 – x^3)^3\)의 항을 곱했을 때 \(x^{10}\)이 되는 조합을 찾고, 이때 이미 알고 있는 계수 \(a\)와 \(b\)를 활용합니다.
- 계수 계산: 찾아낸 조합들의 계수를 곱하고 더하여 최종적인 \(x^{10}\)의 계수를 \(a\)와 \(b\)에 대한 식으로 나타냅니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 정보 이해
다항식 \(P(x) = 4 – 3x + 2x^2 – x^3\)라고 할 때, 문제에서 주어진 정보는 \((P(x))^3\)의 전개식에서 \(x^7\)의 계수가 \(a\), \(x^8\)의 계수가 \(b\)라는 것입니다.
즉, \((4 – 3x + 2x^2 – x^3)^3 = \cdots + ax^7 + bx^8 + \cdots\) 입니다.
Step 2: 새로운 다항식 변형
새로운 다항식은 \(\{(x + 3)(4 – 3x + 2x^2 – x^3)\}^3\)입니다. 이를 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
$$ \{(x + 3)(4 – 3x + 2x^2 – x^3)\}^3 = (x + 3)^3 (4 – 3x + 2x^2 – x^3)^3 $$
Step 3: \((x + 3)^3\) 전개
이항정리 또는 직접 곱셈을 이용하여 \((x + 3)^3\)을 전개합니다.
$$ (x + 3)^3 = x^3 + 3(x^2)(3) + 3(x)(3^2) + 3^3 $$
$$ = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 $$
Step 4: \(x^{10}\) 항 생성 조합 찾기
이제 \((x^3 + 9x^2 + 27x + 27)\)과 \((4 – 3x + 2x^2 – x^3)^3 = \cdots + ax^7 + bx^8 + \cdots\)을 곱하여 \(x^{10}\) 항이 나오는 경우를 찾습니다.
- \(x^3\) 항과 \(bx^8\) 항을 곱하면 \(bx^{11}\) 항이 됩니다. (차수 합 11)
- \(x^3\) 항과 \(ax^7\) 항을 곱하면 \(ax^{10}\) 항이 됩니다. (차수 합 10) – 계수는 \(1 \times a = a\)
- \(9x^2\) 항과 \(bx^8\) 항을 곱하면 \(9bx^{10}\) 항이 됩니다. (차수 합 10) – 계수는 \(9 \times b = 9b\)
- \(27x\) 항과 \(ax^7\) 항을 곱하면 \(27ax^8\) 항이 됩니다. (차수 합 8)
- \(27\) 항과 \(bx^8\) 항을 곱하면 \(27bx^8\) 항이 됩니다. (차수 합 8)
- \(27\) 항과 \(ax^7\) 항을 곱하면 \(27ax^7\) 항이 됩니다. (차수 합 7)
따라서, \(x^{10}\) 항은 \(x^3\)과 \(ax^7\)의 곱, 그리고 \(9x^2\)과 \(bx^8\)의 곱에서만 나타납니다.
Step 5: \(x^{10}\)의 계수 계산
위에서 찾은 조합들의 계수를 더하면 \(x^{10}\)의 전체 계수를 얻을 수 있습니다.
\(x^{10}\)의 계수 = (\(x^3\)의 계수 × \(x^7\)의 계수) + (\(9x^2\)의 계수 × \(x^8\)의 계수)
$$ = (1 \times a) + (9 \times b) = a + 9b $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식의 곱셈과 특정 차수의 계수를 구하는 방법을 이해하고 응용하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 다항식의 곱셈: 두 다항식을 곱할 때, 각 다항식의 모든 항을 빠짐없이 곱하여 결과를 더합니다.
- 특정 차수의 계수: 다항식의 곱셈 결과에서 특정 차수의 항을 얻기 위해서는 곱하는 두 다항식의 항들의 차수의 합이 목표 차수가 되는 모든 조합을 찾아야 합니다.
- 이항정리 (부분 활용): \((x + a)^n\) 형태의 다항식 전개에서 각 항의 계수를 구하는 데 사용됩니다. 이 문제에서는 \((x + 3)^3\)을 전개할 때 활용되었습니다. 일반적인 이항정리 공식은 다음과 같습니다. $$ (x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} x^k $$
- 문제 해결 전략: 복잡한 다항식의 전개를 직접 수행하는 대신, 주어진 정보를 활용하고 필요한 부분만 전개하여 문제를 효율적으로 해결하는 것이 중요합니다.
이 문제에서는 첫 번째 다항식의 전체 전개를 알 필요 없이 특정 차수의 계수만 주어졌다는 점을 이용하여, 두 번째 다항식의 전개에서 해당 차수를 만드는 항들의 조합을 찾아 계수를 계산하는 방식으로 문제를 해결했습니다.
✅ 최종 정답
② \(a + 9b – 27\)
✅ 최종 정답
② \(a + 9b – 27\)