함수 값의 합 구하기 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 \(x + \frac{1}{x} = 1\)일 때, 자연수 \(n\)에 대하여 \(P(n) = (1 + x^2)^n + (x^2 – x)^n\)으로 정의된 함수 \(P(n)\)의 합 \(\sum_{n=1}^{1600} P(n)\)의 값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위한 전략은 다음과 같습니다.
- 주어진 조건 활용: \(x + \frac{1}{x} = 1\)이라는 조건을 이용하여 \(x\)에 대한 관계식을 찾고, 이를 통해 \(x^2 – x\)와 \(1 + x^2\)을 간단하게 표현해봅니다.
- \(x\) 값 또는 관계식 구하기: 주어진 조건을 변형하여 \(x\) 값을 직접 구하거나, \(x\)에 대한 중요한 관계식을 유도합니다. 특히, \(x^3\) 또는 더 높은 차수의 규칙성을 찾아낼 수 있는지 확인합니다.
- \(P(n)\) 식 간단화: 찾은 \(x\)에 대한 관계식을 이용하여 \(P(n)\) 식을 최대한 간단하게 만듭니다.
- \(P(n)\) 값의 규칙성 파악: \(n\) 값이 변함에 따라 \(P(n)\)의 값이 어떤 규칙성을 가지는지 (예: 주기성) 확인합니다. 이를 위해 \(P(1), P(2), P(3), \ldots\) 등의 값을 몇 개 계산해봅니다.
- 합 계산: \(P(n)\) 값의 규칙성을 이용하여 주어진 합 \(\sum_{n=1}^{1600} P(n)\)의 값을 계산합니다. 주기성을 발견했다면, 주기를 이용하여 합을 간단하게 구할 수 있습니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 조건 변형
주어진 조건 \(x + \frac{1}{x} = 1\)의 양변에 \(x\)를 곱하여 \(x\)에 대한 이차방정식을 얻습니다.
$$ x^2 + 1 = x $$
이를 정리하면 다음과 같습니다.
$$ x^2 – x + 1 = 0 \quad \cdots (1) $$
Step 2: \(x^3\)의 값 구하기
(1)식의 양변에 \((x + 1)\)을 곱합니다. 곱셈 공식 \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)\)을 이용하기 위함입니다.
$$ (x + 1)(x^2 – x + 1) = 0 \times (x + 1) $$
$$ x^3 + 1^3 = 0 $$
따라서, \(x^3 = -1\)임을 알 수 있습니다.
Step 3: \(1 + x^2\)과 \(x^2 – x\) 간단화
(1)식 \(x^2 – x + 1 = 0\)으로부터 다음 관계를 얻을 수 있습니다.
$$ 1 + x^2 = x $$
그리고 (1)식을 다시 쓰면 \(x^2 = x – 1\)이므로,
$$ x^2 – x = (x – 1) – x = -1 $$
Step 4: \(P(n)\) 식 간단화
Step 3에서 얻은 결과를 이용하여 \(P(n)\) 식을 간단하게 나타냅니다.
$$ P(n) = (1 + x^2)^n + (x^2 – x)^n = (x)^n + (-1)^n = x^n + (-1)^n $$
Step 5: \(P(n)\) 값의 규칙성 파악
\(x^3 = -1\)이므로 \(x^6 = (x^3)^2 = (-1)^2 = 1\)입니다. 따라서 \(x^n\)은 주기가 6인 순환성을 가집니다. 이를 이용하여 \(P(n)\)의 처음 몇 개 항의 값을 계산해봅니다.
- \(P(1) = x^1 + (-1)^1 = x – 1\)
- \(P(2) = x^2 + (-1)^2 = x^2 + 1 = x\) (Step 3 활용)
- \(P(3) = x^3 + (-1)^3 = -1 – 1 = -2\)
- \(P(4) = x^4 + (-1)^4 = x^3 \cdot x + 1 = -x + 1\)
- \(P(5) = x^5 + (-1)^5 = x^3 \cdot x^2 – 1 = -x^2 – 1 = -(x – 1) – 1 = -x\) (Step 3 활용)
- \(P(6) = x^6 + (-1)^6 = 1 + 1 = 2\)
- \(P(7) = x^7 + (-1)^7 = x^6 \cdot x – 1 = x – 1\) (주기성 확인)
Step 6: 주기적인 합 계산
\(P(n)\)은 주기가 6임을 확인했습니다. 한 주기의 합을 계산해봅니다.
$$ P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = (x – 1) + x + (-2) + (-x + 1) + (-x) + 2 = 0 $$
Step 7: 전체 합 계산
구해야 하는 합은 \(P(1) + P(2) + \cdots + P(1600)\)입니다. \(1600\)을 6으로 나누면 \(1600 = 6 \times 266 + 4\)입니다. 따라서 266번의 완전한 주기가 있고, 나머지 4개의 항이 남습니다.
$$ \sum_{n=1}^{1600} P(n) = \sum_{k=0}^{265} [P(6k+1) + P(6k+2) + P(6k+3) + P(6k+4) + P(6k+5) + P(6k+6)] + P(1597) + P(1598) + P(1599) + P(1600) $$
각 주기의 합은 0이므로,
$$ \sum_{n=1}^{1600} P(n) = 0 \times 266 + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) $$
$$ = (x – 1) + x + (-2) + (-x + 1) = x – 2 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 주어진 조건을 활용한 식 변형, 복소수의 성질 (특히
- 이차방정식의 해와 근의 공식: 주어진 조건을 변형하여 이차방정식을 얻고, 필요에 따라 근의 공식을 이용하여 해를 구할 수 있습니다.
- 복소수의 연산 및 성질: \(x^3 = -1\)과 같은 관계를 이용하여 복소수 거듭제곱의 규칙성을 파악하는 것이 중요합니다. 특히,
- 함수의 주기성: 함수 \(f(n)\)에 대하여 \(f(n + p) = f(n)\)을 만족하는 양의 정수 \(p\)가 존재할 때, 함수 \(f(n)\)은 주기가 \(p\)인 주기함수라고 합니다. 이 문제에서는 \(P(n)\)이 주기성을 가짐을 이용하여 합을 계산했습니다.
- 수열의 합: 주기성을 갖는 수열의 합은 한 주기의 합을 이용하여 전체 합을 간단하게 계산할 수 있습니다.
이 문제에서는 주어진 조건을 통해 \(x^3 = -1\)이라는 중요한 관계를 이끌어내고, 이를 바탕으로 \(P(n)\)의 주기성을 파악하는 것이 핵심적인 단계였습니다. 주기성을 이용하면 많은 항의 합을 효율적으로 계산할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
⑤ \(x – 2\)