곱셈 공식 활용 식의 값 구하기 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 \(a + b = -2\), \(ab = 3\), \(x + y = 1\), \(xy = 2\)일 때, \((ax + by)^3 + (bx + ay)^3\)의 값을 구하는 문제입니다. 복잡한 식을 직접 세제곱하여 계산하는 대신, 곱셈 공식을 활용하고 주어진 조건을 이용하여 식을 간단하게 만드는 전략을 사용합니다.
- 새로운 변수 도입: 계산의 편의를 위해 \(p = ax + by\)와 \(q = bx + ay\)로 치환합니다.
- \(p + q\)와 \(pq\) 값 구하기: 주어진 조건 \((a + b)\), \(ab\), \((x + y)\), \(xy\)를 이용하여 \(p + q\)와 \(pq\)의 값을 계산합니다.
- 곱셈 공식 활용: \((ax + by)^3 + (bx + ay)^3 = p^3 + q^3\)의 값을 구하기 위해 곱셈 공식 \(p^3 + q^3 = (p + q)^3 – 3pq(p + q)\)를 이용합니다.
- 최종 값 계산: Step 2에서 구한 \(p + q\)와 \(pq\)의 값을 곱셈 공식에 대입하여 최종적인 답을 얻습니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 새로운 변수 설정
계산의 편의를 위해 다음과 같이 새로운 변수를 설정합니다.
$$ p = ax + by $$
$$ q = bx + ay $$
우리가 구해야 할 값은 \(p^3 + q^3\)입니다.
Step 2: \(p + q\) 값 구하기
\(p\)와 \(q\)를 더하면 다음과 같습니다.
$$ p + q = (ax + by) + (bx + ay) = (a + b)(x + y) $$
주어진 조건 \(a + b = -2\)와 \(x + y = 1\)을 대입하면,
$$ p + q = (-2)(1) = -2 $$
Step 3: \(pq\) 값 구하기
\(p\)와 \(q\)를 곱하면 다음과 같습니다.
$$ pq = (ax + by)(bx + ay) = ab(x^2 + y^2) + xy(a^2 + b^2) $$
곱셈 공식 변형 \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy\)와 \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab\)를 이용하여 값을 구합니다.
$$ x^2 + y^2 = (1)^2 – 2(2) = -3 $$
$$ a^2 + b^2 = (-2)^2 – 2(3) = -2 $$
주어진 조건 \(ab = 3\)과 \(xy = 2\)를 함께 대입하면,
$$ pq = (3)(-3) + (2)(-2) = -9 – 4 = -13 $$
Step 4: \(p^3 + q^3\) 값 계산
곱셈 공식 \(p^3 + q^3 = (p + q)^3 – 3pq(p + q)\)에 \(p + q = -2\)와 \(pq = -13\)을 대입합니다.
$$ p^3 + q^3 = (-2)^3 – 3(-13)(-2) = -8 – 78 = -86 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 곱셈 공식의 활용과 주어진 조건을 이용하여 복잡한 식의 값을 효율적으로 계산하는 능력을 평가하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 곱셈 공식 및 변형: 합과 곱이 주어졌을 때 제곱의 합 등을 구하는 변형 공식을 숙지해야 합니다.
- 식의 치환: 복잡한 형태의 식을 간단한 변수로 치환하여 문제 해결 과정을 단순화할 수 있습니다.
- 단계적 문제 해결: 구하고자 하는 값을 직접 계산하기 어렵다면, 중간 단계를 설정하여 차근차근 값을 구해나가는 전략이 유효합니다.
이 문제에서는 주어진 조건을 이용하여 \(p + q\)와 \(pq\)의 값을 먼저 구하고, 이를 곱셈 공식에 대입하여 최종적인 값을 얻는 단계적인 접근 방식을 사용했습니다.
✅ 최종 정답
② \(-86\)