직사각형과 선분 조건 활용 문제 풀이
(오른쪽 그림과 같은 직사각형 ABCD)
직사각형 ABCD의 넓이가 80이고, 변 BC 위에 다음 조건을 모두 만족시키는 점 E가 있다.
- (가) \(\overline{AD} + \overline{DC} + \overline{CE} = 21\)
- (나) \(\overline{AB} + \overline{BE} = 15\)
이때 대각선 AC의 길이를 구하면?
- 12
- \(2\sqrt{38}\)
- \(2\sqrt{39}\)
- \(4\sqrt{10}\)
- \(2\sqrt{41}\)
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 직사각형의 넓이와 변의 길이, 그리고 변 위에 있는 점에 대한 조건을 이용하여 직사각형의 대각선 길이를 구하는 문제입니다. 도형의 성질과 주어진 조건을 방정식으로 나타내어 연립하여 해결하는 전략을 사용합니다.
- 변수 설정: 직사각형의 가로, 세로 길이를 적절한 변수로 설정하고, 점 E와 관련된 선분의 길이도 변수로 나타냅니다.
- 조건을 방정식으로 변환: 문제에서 주어진 넓이 조건과 두 개의 길이 조건을 변수에 대한 방정식으로 세웁니다.
- 연립방정식 풀이: 세 개의 방정식을 연립하여 직사각형의 가로와 세로 길이를 구합니다.
- 대각선 길이 계산: 직사각형의 가로와 세로 길이를 이용하여 피타고라스 정리에 따라 대각선의 길이를 계산합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 변수 설정
직사각형 ABCD에서 \(\overline{AD} = a\), \(\overline{DC} = b\), \(\overline{CB} = c\)라고 합시다. 직사각형이므로 \(\overline{AD} = \overline{BC} = a\)이고 \(\overline{AB} = \overline{DC} = b\)입니다. 변 BC 위에 점 E가 있으므로 \(\overline{CE}\)와 \(\overline{BE}\)를 생각할 수 있습니다. \(\overline{BC} = \overline{BE} + \overline{EC}\) 이므로 \(a = \overline{BE} + \overline{CE}\)입니다.
Step 2: 조건 (가)를 방정식으로 변환
조건 (가) \(\overline{AD} + \overline{DC} + \overline{CE} = 21\)을 변수를 사용하여 나타내면 다음과 같습니다.
$$ a + b + \overline{CE} = 21 \quad \cdots (1) $$
Step 3: 조건 (나)를 방정식으로 변환
조건 (나) \(\overline{AB} + \overline{BE} = 15\)를 변수를 사용하여 나타내면 다음과 같습니다.
$$ b + \overline{BE} = 15 \quad \cdots (2) $$
Step 4: 넓이 조건을 방정식으로 변환
직사각형 ABCD의 넓이가 80이므로 다음과 같은 방정식을 얻습니다.
$$ \overline{AD} \times \overline{DC} = ab = 80 \quad \cdots (3) $$
Step 5: 연립방정식 풀이
식 (1)에서 \(\overline{CE} = 21 – a – b\)이고, 식 (2)에서 \(\overline{BE} = 15 – b\)입니다. \(\overline{BC} = \overline{BE} + \overline{CE}\) 이므로 \(a = (15 – b) + (21 – a – b)\) 입니다.
$$ a = 36 – a – 2b $$
이를 정리하면 다음과 같습니다.
$$ 2a + 2b = 36 $$
$$ a + b = 18 \quad \cdots (4) $$
이제 식 (3) \(ab = 80\)과 식 (4) \(a + b = 18\)을 연립하여 \(a\)와 \(b\)를 구할 필요는 없습니다. 대각선 AC의 길이를 바로 구할 수 있기 때문입니다.
Step 6: 대각선 AC의 길이 계산
직사각형 ABCD의 대각선 AC의 길이는 피타고라스 정리에 의해 \(\overline{AC} = \sqrt{\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2} = \sqrt{b^2 + a^2}\)입니다. 우리는 \(a + b\)와 \(ab\)의 값을 알고 있으므로, \((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\)임을 이용하여 \(a^2 + b^2\)을 구할 수 있습니다.
$$ a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab $$
식 (4)와 (3)의 값을 대입하면,
$$ a^2 + b^2 = (18)^2 – 2(80) = 324 – 160 = 164 $$
따라서 대각선 AC의 길이는,
$$ \overline{AC} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{164} = \sqrt{4 \times 41} = 2\sqrt{41} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 직사각형의 성질, 선분의 길이 관계, 그리고 피타고라스 정리를 이용하여 문제를 해결하는 유형입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 직사각형의 성질: 마주보는 변의 길이가 같고 네 각이 모두 직각입니다. 넓이는 가로와 세로의 곱으로 계산됩니다.
- 선분의 길이 관계: 한 선분 위에 있는 점들은 선분의 길이를 나누어 가지며, 부분의 길이의 합은 전체 길이와 같습니다.
- 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 빗변의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같습니다. (\(c^2 = a^2 + b^2\)) 직사각형의 대각선은 직사각형을 두 개의 직각삼각형으로 나누므로, 대각선의 길이를 구하는 데 피타고라스 정리가 활용됩니다.
- 곱셈 공식의 활용: \((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\)와 같은 곱셈 공식을 이용하여 합과 곱의 관계로부터 제곱의 합을 유도할 수 있습니다.
- 연립방정식: 여러 개의 미지수를 포함하는 방정식을 함께 풀어 미지수의 값을 구할 수 있습니다.
이 문제에서는 주어진 조건들을 변수를 이용한 방정식으로 나타내고, 연립하여 필요한 정보를 얻은 후 피타고라스 정리를 적용하여 대각선의 길이를 구할 수 있었습니다. 특히, 직접 각 변의 길이를 구하지 않고도 곱셈 공식의 변형을 통해 대각선 길이를 계산하는 것이 효율적인 풀이 방법입니다.
✅ 최종 정답
⑤ \(2\sqrt{41}\)