곱셈 공식과 식의 값 구하기 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 0이 아닌 세 실수 \(x, y, z\)에 대하여 \(\frac{1}{x} – \frac{1}{y} – \frac{1}{z} = 0\)이고 \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\)일 때, \((x – y – z)^{10}\)의 값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위한 전략은 다음과 같습니다.
- 첫 번째 조건 변형: \(\frac{1}{x} – \frac{1}{y} – \frac{1}{z} = 0\)을 통분하여 \(x, y, z\) 사이의 관계식을 얻습니다.
- \((x – y – z)^2\) 전개: 구해야 하는 식의 밑인 \((x – y – z)\)의 제곱을 전개하여 주어진 조건들과 연관시킵니다.
- 조건 대입 및 값 계산: 전개된 식에 주어진 조건 \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\)와 첫 번째 조건에서 얻은 관계식을 대입하여 \((x – y – z)^2\)의 값을 구합니다.
- 최종 값 계산: \((x – y – z)^2\)의 값을 이용하여 지수 법칙을 활용하여 \((x – y – z)^{10}\)의 값을 계산합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 첫 번째 조건 변형
주어진 조건 \(\frac{1}{x} – \frac{1}{y} – \frac{1}{z} = 0\)의 좌변을 통분합니다. 공통분모는 \(xyz\)입니다.
$$ \frac{yz}{xyz} – \frac{xz}{xyz} – \frac{xy}{xyz} = 0 $$
$$ \frac{yz – xz – xy}{xyz} = 0 $$
문제에서 \(x, y, z\)는 0이 아니라고 했으므로, 분모 \(xyz\)는 0이 아닙니다. 따라서 분자가 0이어야 합니다.
$$ yz – xz – xy = 0 $$
또는 양변에 -1을 곱하여 \(xy + xz – yz = 0\)으로 나타낼 수도 있습니다.
Step 2: \((x – y – z)^2\) 전개
세 항의 완전제곱 공식을 이용하여 \((x – y – z)^2\)을 전개합니다. \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\) 공식을 활용하면 (여기서 \(a=x, b=-y, c=-z\)),
$$ (x – y – z)^2 = x^2 + (-y)^2 + (-z)^2 + 2(x)(-y) + 2(-y)(-z) + 2(-z)(x) $$
$$ = x^2 + y^2 + z^2 – 2xy + 2yz – 2zx $$
뒤의 세 항에서 2를 묶어내면,
$$ = x^2 + y^2 + z^2 + 2(-xy + yz – zx) $$
Step 3: 조건 대입 및 \((x – y – z)^2\) 값 계산
Step 2에서 얻은 전개식에 주어진 조건 \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\)와 Step 1에서 얻은 관계식 \(yz – xz – xy = 0\) (즉, \(-xy + yz – zx = 0\))을 대입합니다.
$$ (x – y – z)^2 = (x^2 + y^2 + z^2) + 2(-xy + yz – zx) $$
$$ = (4) + 2(0) $$
$$ = 4 $$
따라서 \((x – y – z)^2 = 4\)입니다.
Step 4: 최종 값 \((x – y – z)^{10}\) 계산
구해야 하는 값은 \((x – y – z)^{10}\)입니다. Step 3에서 \((x – y – z)^2 = 4\)임을 알았으므로, 지수 법칙을 이용하여 계산합니다.
$$ (x – y – z)^{10} = \{(x – y – z)^2\}^5 $$
$$ = (4)^5 $$
4는 \(2^2\)이므로,
$$ = (2^2)^5 = 2^{2 \times 5} = 2^{10} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 주어진 조건을 이용하여 식의 값을 구하는 문제로, 곱셈 공식의 활용과 지수 법칙에 대한 이해가 필요합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 분수식 계산 및 통분: 분수 형태의 조건을 간단한 다항식 형태로 변환하기 위해 통분이 필요합니다.
- 완전제곱 공식 (세 항): \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\) 공식을 정확하게 적용하고, 특히 항의 부호에 주의해야 합니다.
- 지수 법칙: \((a^m)^n = a^{mn}\)과 같은 지수 법칙을 이용하여 거듭제곱 계산을 효율적으로 할 수 있습니다.
- 조건 활용 능력: 문제에서 주어진 여러 조건들을 적절히 조합하고 변형하여 목표하는 식의 값을 구하는 능력이 중요합니다.
이 문제에서는 먼저 분수 조건을 통분하여 \(xy, yz, zx\) 사이의 관계를 얻고, 그 다음 구하고자 하는 식의 밑의 제곱을 전개하여 주어진 조건들을 대입함으로써 밑의 제곱 값을 구한 후, 지수 법칙을 이용해 최종 답을 도출했습니다.
✅ 최종 정답
② \(2^{10}\)