고1수학 – 발전 – 12202325 – 36번

Step 1: 주어진 식 정리

구하고자 하는 식을 같은 차수의 항끼리 묶어서 정리합니다.

$$(a+a^2+a^3+a^4)–(b+b^2+b^3+b^4)$$

$$=(a–b)+(a^2–b^2)+(a^3–b^3)+(a^4–b^4)$$

Step 2: $a–b$ 값 구하기

곱셈 공식 변형 $(a–b{)}^2=(a+b{)}^2–4ab$를 이용합니다. 주어진 조건 $a+b=6$, $ab=4$를 대입합니다.

$$(a–b{)}^2=(6{)}^2–4(4)=36–16=20$$

문제에서 $a>b$이므로 $a–b>0$입니다. 따라서,

$$a–b=\sqrt{20}=\sqrt{4\times 5}=2\sqrt{5}$$

Step 3: $a^2–b^2$ 값 구하기

합차 공식을 이용합니다: $a^2–b^2=(a–b)(a+b)$.

$$a^2–b^2=(2\sqrt{5})(6)=12\sqrt{5}$$

Step 4: $a^3–b^3$ 값 구하기

곱셈 공식 변형 $a^3–b^3=(a–b{)}^3+3ab(a–b)$를 이용합니다.

$$a^3–b^3=(2\sqrt{5}{)}^3+3(4)(2\sqrt{5})$$

$(2\sqrt{5}{)}^3=2^3(\sqrt{5}{)}^3=8\times 5\sqrt{5}=40\sqrt{5}$이므로,

$$=40\sqrt{5}+24\sqrt{5}=64\sqrt{5}$$

Step 5: $a^4–b^4$ 값 구하기

먼저 $a^2+b^2$ 값을 계산합니다. $a^2+b^2=(a+b{)}^2–2ab$.

$$a^2+b^2=(6{)}^2–2(4)=36–8=28$$

이제 합차 공식을 이용하여 $a^4–b^4=(a^2+b^2)(a^2–b^2)$ 값을 계산합니다. Step 3에서 구한 $a^2–b^2=12\sqrt{5}$를 이용합니다.

$$a^4–b^4=(28)(12\sqrt{5})=336\sqrt{5}$$

Step 6: 최종 합 계산

Step 1에서 정리한 식에 각 항의 값을 대입하여 더합니다.

$$(a–b)+(a^2–b^2)+(a^3–b^3)+(a^4–b^4)$$

$$=2\sqrt{5}+12\sqrt{5}+64\sqrt{5}+336\sqrt{5}$$

$\sqrt{5}$로 묶어서 계수들을 더합니다.

$$=(2+12+64+336)\sqrt{5}$$

$$=414\sqrt{5}$$