식의 값 구하기 문제 풀이 (곱셈 공식 활용)
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 \(x^2 – 3x + 1 = 0\)이고 \(0 < x < 1\)일 때, 주어진 분수식의 값을 \(a + b\sqrt{5}\) 형태로 나타내고, \(a - b\)의 값을 구하는 문제입니다. 분수식을 간단히 하고, 주어진 이차방정식을 이용하여 \(x + \frac{1}{x}\)와 관련된 값들을 구해 대입하는 전략을 사용합니다.
- 분수식 정리: 분모 \(x^3\)으로 분자의 각 항을 나누어 식을 \(x^k \pm \frac{1}{x^k}\) 형태의 합으로 변형합니다.
- 기본 값 구하기: 주어진 이차방정식 \(x^2 – 3x + 1 = 0\)의 양변을 \(x\)로 나누어 \(x + \frac{1}{x}\)의 값을 구합니다. (단, \(x \neq 0\)임을 확인해야 합니다. \(x=0\)을 대입하면 \(1=0\)이 되어 모순이므로 \(x \neq 0\)입니다.)
- 필요한 식의 값 계산: \(x + \frac{1}{x}\)의 값을 이용하여 \(x^2 + \frac{1}{x^2}\), \(x – \frac{1}{x}\), \(x^3 – \frac{1}{x^3}\) 등의 값을 곱셈 공식 변형을 통해 계산합니다. 이때, \(x – \frac{1}{x}\)의 부호는 \(0 < x < 1\) 조건을 이용하여 결정합니다.
- 값 대입 및 최종 계산: 계산된 값들을 정리된 분수식에 대입하여 최종 값을 \(a + b\sqrt{5}\) 형태로 나타냅니다.
- \(a, b\) 값 결정 및 \(a – b\) 계산: 최종 결과에서 유리수 \(a, b\)를 결정하고 \(a – b\)를 계산합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 분수식 정리
분모 \(x^3\)으로 분자의 각 항을 나눕니다.
$$ \frac{x^6 + x^5 + 2x^4 + 5x^3 – 2x^2 + x – 1}{x^3} $$
$$ = \frac{x^6}{x^3} + \frac{x^5}{x^3} + \frac{2x^4}{x^3} + \frac{5x^3}{x^3} – \frac{2x^2}{x^3} + \frac{x}{x^3} – \frac{1}{x^3} $$
$$ = x^3 + x^2 + 2x + 5 – \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3} $$
같은 형태의 항끼리 묶어줍니다.
$$ = (x^3 – \frac{1}{x^3}) + (x^2 + \frac{1}{x^2}) + (2x – \frac{2}{x}) + 5 $$
$$ = (x^3 – \frac{1}{x^3}) + (x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2(x – \frac{1}{x}) + 5 \quad \cdots (1) $$
Step 2: \(x + \frac{1}{x}\) 값 구하기
\(x^2 – 3x + 1 = 0\)에서 \(x=0\)을 대입하면 \(1=0\)이 되어 모순이므로 \(x \neq 0\)입니다. 따라서 양변을 \(x\)로 나눌 수 있습니다.
$$ \frac{x^2}{x} – \frac{3x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0}{x} $$
$$ x – 3 + \frac{1}{x} = 0 $$
$$ \therefore x + \frac{1}{x} = 3 $$
Step 3: \(x^2 + \frac{1}{x^2}\) 값 구하기
곱셈 공식 변형 \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab\)를 이용합니다.
$$ x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2(x)\left(\frac{1}{x}\right) $$
$$ = (3)^2 – 2 = 9 – 2 = 7 $$
Step 4: \(x – \frac{1}{x}\) 값 구하기
곱셈 공식 변형 \((a – b)^2 = (a + b)^2 – 4ab\)를 이용합니다.
$$ \left(x – \frac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 4(x)\left(\frac{1}{x}\right) $$
$$ = (3)^2 – 4 = 9 – 4 = 5 $$
문제 조건에서 \(0 < x < 1\)이므로, \(x\)는 1보다 작은 양수이고, \(\frac{1}{x}\)는 1보다 큰 수입니다. 따라서 \(x - \frac{1}{x}\)는 음수입니다.
$$ \therefore x – \frac{1}{x} = -\sqrt{5} $$
Step 5: \(x^3 – \frac{1}{x^3}\) 값 구하기
곱셈 공식 변형 \(a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)\)를 이용합니다.
$$ x^3 – \frac{1}{x^3} = \left(x – \frac{1}{x}\right)^3 + 3(x)\left(\frac{1}{x}\right)\left(x – \frac{1}{x}\right) $$
$$ = \left(-\sqrt{5}\right)^3 + 3\left(-\sqrt{5}\right) $$
$$ = -(\sqrt{5})^3 – 3\sqrt{5} = -5\sqrt{5} – 3\sqrt{5} = -8\sqrt{5} $$
Step 6: 최종 값 계산
식 (1)에 Step 3, 4, 5에서 구한 값들을 대입합니다.
$$ (x^3 – \frac{1}{x^3}) + (x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2(x – \frac{1}{x}) + 5 $$
$$ = (-8\sqrt{5}) + (7) + 2(-\sqrt{5}) + 5 $$
유리수 부분과 무리수 부분을 정리합니다.
$$ = (7 + 5) + (-8\sqrt{5} – 2\sqrt{5}) $$
$$ = 12 – 10\sqrt{5} $$
Step 7: \(a, b\) 값 결정 및 \(a – b\) 계산
문제에서 주어진 값은 \(a + b\sqrt{5}\) 형태입니다. Step 6의 결과와 비교하면,
$$ 12 – 10\sqrt{5} = a + b\sqrt{5} $$
\(a\)와 \(b\)는 유리수이므로, \(a = 12\)이고 \(b = -10\)입니다.
따라서, 구해야 하는 \(a – b\)의 값은
$$ a – b = 12 – (-10) = 12 + 10 = 22 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 주어진 이차방정식으로부터 특정 식의 값을 유도하고, 곱셈 공식의 변형을 활용하여 복잡한 분수식의 값을 계산하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 이차방정식과 식의 값: \(x^2 + px + 1 = 0\) 형태의 방정식이 주어지면 양변을 \(x\)로 나누어 \(x + \frac{1}{x} = -p\)를 얻을 수 있습니다. (단, \(x \neq 0\))
- 곱셈 공식 변형:
- \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab\)
- \((a – b)^2 = (a + b)^2 – 4ab\)
- \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)\)
- \(a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)\)
- 특히, \(b = \frac{1}{a}\)인 경우, \(ab = 1\)이 되므로 공식이 간단해집니다.
- \(x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2\)
- \(\left(x – \frac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 4\)
- \(x^3 – \frac{1}{x^3} = \left(x – \frac{1}{x}\right)^3 + 3\left(x – \frac{1}{x}\right)\)
- 부호 결정: \((x – \frac{1}{x})^2 = k\)에서 \(x – \frac{1}{x} = \pm \sqrt{k}\)가 될 때, \(x\)의 값의 범위(\(0 < x < 1\) 등)를 이용하여 부호를 결정해야 합니다.
- 유리수와 무리수 상등: \(a, b, c, d\)가 유리수이고 \(\sqrt{m}\)이 무리수일 때, \(a + b\sqrt{m} = c + d\sqrt{m}\)이면 \(a = c\)이고 \(b = d\)입니다.
이 문제에서는 주어진 이차방정식으로부터 \(x + \frac{1}{x}\)의 값을 구하고, 이를 바탕으로 \(x^2 + \frac{1}{x^2}\), \(x – \frac{1}{x}\), \(x^3 – \frac{1}{x^3}\) 값을 순차적으로 계산한 후, 정리된 식에 대입하여 최종 값을 구하는 과정을 거쳤습니다.
✅ 최종 정답
② \(22\)