곱셈 공식을 이용한 식의 값 구하기 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 \(x + y + z = 0\)이고 \(x^2 + y^2 + z^2 = 10\)일 때, \(x^4 + y^4 + z^4\)의 값을 구하는 것입니다. 네제곱의 합을 직접 계산하는 대신, 주어진 조건과 곱셈 공식을 단계적으로 활용하여 값을 유도하는 전략을 사용합니다.
- \(xy + yz + zx\) 값 구하기: 곱셈 공식 \((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)\)를 이용하여 \(xy + yz + zx\)의 값을 계산합니다.
- 네제곱의 합 표현하기: 곱셈 공식 \((a + b + c)^2\)를 이용하여 \(x^4 + y^4 + z^4 = (x^2)^2 + (y^2)^2 + (z^2)^2\)을 \((x^2 + y^2 + z^2)^2\)과 \(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2\)의 관계로 나타냅니다.
- \(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2\) 값 구하기: 곱셈 공식 \((ab + bc + ca)^2 = a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc(a + b + c)\)를 이용하여 \(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2\)의 값을 계산합니다. 이때 \(x + y + z = 0\) 조건이 중요하게 사용됩니다.
- 최종 값 계산: 위에서 구한 값들을 대입하여 \(x^4 + y^4 + z^4\)의 값을 최종적으로 계산합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(xy + yz + zx\) 값 구하기
곱셈 공식 \((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)\)를 이용합니다. 주어진 조건 \(x + y + z = 0\)과 \(x^2 + y^2 + z^2 = 10\)을 대입합니다.
$$ (0)^2 = (10) + 2(xy + yz + zx) $$
$$ 0 = 10 + 2(xy + yz + zx) $$
$$ 2(xy + yz + zx) = -10 $$
$$ xy + yz + zx = -5 $$
Step 2: \(x^4 + y^4 + z^4\)을 관련 식으로 표현하기
구하고자 하는 \(x^4 + y^4 + z^4\)은 \((x^2)^2 + (y^2)^2 + (z^2)^2\)으로 볼 수 있습니다. 곱셈 공식 \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)\)에서 \(a=x^2, b=y^2, c=z^2\)로 두면,
$$ (x^2 + y^2 + z^2)^2 = (x^2)^2 + (y^2)^2 + (z^2)^2 + 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) $$
$$ (x^2 + y^2 + z^2)^2 = x^4 + y^4 + z^4 + 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) $$
따라서, \(x^4 + y^4 + z^4\)은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$ x^4 + y^4 + z^4 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 – 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) \quad \cdots (1) $$
Step 3: \(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2\) 값 구하기
이제 \((x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)\)의 값을 구해야 합니다. 곱셈 공식 \((a + b + c)^2\)에서 \(a=xy, b=yz, c=zx\)로 두면,
$$ (xy + yz + zx)^2 = (xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 + 2(xy \cdot yz + yz \cdot zx + zx \cdot xy) $$
$$ (xy + yz + zx)^2 = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2(xy^2z + yz^2x + zx^2y) $$
뒤의 괄호 안에서 공통 인수 \(xyz\)를 묶어내면,
$$ (xy + yz + zx)^2 = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xyz(y + z + x) $$
Step 1에서 구한 \(xy + yz + zx = -5\)와 주어진 조건 \(x + y + z = 0\)을 대입합니다.
$$ (-5)^2 = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xyz(0) $$
$$ 25 = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 $$
Step 4: \(x^4 + y^4 + z^4\) 값 최종 계산
식 (1)에 주어진 조건 \(x^2 + y^2 + z^2 = 10\)과 Step 3에서 구한 \(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = 25\)를 대입합니다.
$$ x^4 + y^4 + z^4 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 – 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) $$
$$ = (10)^2 – 2(25) $$
$$ = 100 – 50 = 50 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 곱셈 공식을 여러 단계에 걸쳐 응용하여 식의 값을 구하는 문제입니다. 특히, 세 변수에 대한 곱셈 공식을 반복적으로 활용하는 것이 핵심입니다. 관련된 주요 개념은 다음과 같습니다.
- 세 항의 제곱 공식: \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)\) 이 공식을 이용하여 합과 제곱의 합으로부터 두 개씩 곱한 항들의 합(\(ab+bc+ca\))을 구할 수 있으며, 반대로 활용할 수도 있습니다.
- 식의 치환 및 일반화: \(x^2, y^2, z^2\)이나 \(xy, yz, zx\)를 새로운 변수로 생각하고 곱셈 공식을 적용하면 복잡한 식을 체계적으로 다룰 수 있습니다.
- 조건의 활용: 문제에서 주어진 조건 \(x + y + z = 0\)은 \(xy+yz+zx\) 값을 구하는 단계와 \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\) 값을 구하는 단계 모두에서 결정적인 역할을 합니다. 주어진 조건을 어떻게 활용할지 파악하는 것이 중요합니다.
네제곱의 합을 구하기 위해 제곱의 합을 먼저 이용하고, 이 과정에서 필요한 또 다른 형태의 제곱의 합(\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\))을 구하기 위해 다시 곱셈 공식을 사용하는 단계적인 접근 방식이 효과적입니다.
✅ 최종 정답
\(50\)