곱셈 공식을 이용한 식의 값 구하기 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 \(a + 2b + 3c = 5\)이고 \(a^2 + 4b^2 + 9c^2 = 17\)일 때, \((a + 2b)(2b + 3c) + (2b + 3c)(3c + a) + (3c + a)(a + 2b)\)의 값을 구하는 문제입니다. 이 문제는 복잡한 식을 직접 전개하기보다, 곱셈 공식을 이용하여 주어진 조건들을 활용하는 전략이 효과적입니다.
- 치환 활용: \(X = a\), \(Y = 2b\), \(Z = 3c\)로 치환하여 주어진 조건과 구해야 할 식을 간단하게 표현합니다.
- 곱셈 공식 적용: \((X + Y + Z)^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 + 2(XY + YZ + ZX)\) 공식을 이용하여 \(XY + YZ + ZX\)의 값을 계산합니다.
- 목표 식 변형: 구해야 할 식 \((a + 2b)(2b + 3c) + (2b + 3c)(3c + a) + (3c + a)(a + 2b)\)을 치환된 변수 \(X, Y, Z\)로 나타내고, 이 식이 \(X^2 + Y^2 + Z^2\)과 \(XY + YZ + ZX\)의 조합으로 표현될 수 있음을 파악합니다. (\((X+Y)(Y+Z) + (Y+Z)(Z+X) + (Z+X)(X+Y)\) 형태)
- 값 대입 및 계산: 계산된 값들을 변형된 식에 대입하여 최종 답을 구합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 변수 치환 및 조건 정리
계산을 간단히 하기 위해 \(X = a\), \(Y = 2b\), \(Z = 3c\)로 치환합니다. 주어진 조건은 다음과 같이 표현됩니다.
$$ X + Y + Z = a + 2b + 3c = 5 $$
$$ X^2 + Y^2 + Z^2 = a^2 + (2b)^2 + (3c)^2 = a^2 + 4b^2 + 9c^2 = 17 $$
Step 2: \(XY + YZ + ZX\) 값 구하기
곱셈 공식 \((X + Y + Z)^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 + 2(XY + YZ + ZX)\)를 이용합니다. Step 1에서 정리된 값을 대입합니다.
$$ (5)^2 = (17) + 2(XY + YZ + ZX) $$
$$ 25 = 17 + 2(XY + YZ + ZX) $$
$$ 2(XY + YZ + ZX) = 25 – 17 = 8 $$
따라서,
$$ XY + YZ + ZX = 4 $$
원래 변수로 되돌리면,
$$ a(2b) + (2b)(3c) + (3c)a = 2ab + 6bc + 3ca = 4 $$
Step 3: 구하고자 하는 식 변형 및 계산
구해야 하는 식은 다음과 같습니다.
$$ (a + 2b)(2b + 3c) + (2b + 3c)(3c + a) + (3c + a)(a + 2b) $$
이를 \(X, Y, Z\)로 치환하면,
$$ (X + Y)(Y + Z) + (Y + Z)(Z + X) + (Z + X)(X + Y) $$
이 식을 전개하면 다음과 같습니다.
$$ = (XY + XZ + Y^2 + YZ) + (YZ + YX + Z^2 + ZX) + (ZX + ZY + X^2 + XY) $$
동류항끼리 정리하면,
$$ = (X^2 + Y^2 + Z^2) + 3(XY + YZ + ZX) $$
이제 Step 1과 Step 2에서 구한 값을 대입합니다.
$$ = (17) + 3(4) $$
$$ = 17 + 12 = 29 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 곱셈 공식, 특히 세 항의 제곱 공식을 효과적으로 활용하여 복잡한 식의 값을 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 세 항의 제곱 공식: \((X + Y + Z)^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 + 2(XY + YZ + ZX)\)은 합, 제곱의 합, 두 개씩 곱한 항의 합 사이의 관계를 나타내는 중요한 공식입니다.
- 식의 치환: 복잡한 항들(\(a, 2b, 3c\))을 간단한 변수(\(X, Y, Z\))로 치환하면 식의 구조를 파악하고 공식을 적용하기 용이해집니다.
- 대칭적인 식의 구조 파악: 구하고자 하는 식 \((X+Y)(Y+Z) + (Y+Z)(Z+X) + (Z+X)(X+Y)\)은 \(X, Y, Z\)에 대해 대칭적인 형태를 가지며, 이는 \(X^2+Y^2+Z^2\)과 \(XY+YZ+ZX\)로 간단히 표현될 수 있다는 사실을 인지하거나 유도할 수 있으면 문제 해결에 큰 도움이 됩니다.
주어진 조건들을 이용하여 필요한 부분 값(\(XY+YZ+ZX\))을 먼저 계산하고, 목표 식을 변형하여 이 값들을 대입하는 단계적인 접근이 유효했습니다.
✅ 최종 정답
\(29\)