고1수학 - 발전 - 12202325 - 40번

다항식 나눗셈과 나머지 문제 풀이

주어진 문제는 다항식 $P (x)$ 를 $x + 2$ 로 나누었을 때의 몫과 나머지를 알려주고, 이 다항식 $P (x)$ 를 $x^{2} + 1$ 로 나누었을 때의 나머지를 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위한 전략은 다음과 같습니다.

다항식 $P (x)$ 구하기: 다항식 나눗셈의 기본 원리 $A = B Q + R$ (나누어지는 식 = 나누는 식 × 몫 + 나머지)을 이용하여 첫 번째 나눗셈 조건으로부터 다항식 $P (x)$ 를 명시적으로 구합니다.
다항식 나눗셈 실행: 구해진 다항식 $P (x)$ 를 $x^{2} + 1$ 로 직접 나누어 나머지를 찾습니다. 이때 다항식의 나눗셈 방법을 사용합니다.
나머지 확인: 다항식 나눗셈 결과로 얻어진 나머지가 나누는 식 $x^{2} + 1$ 보다 차수가 낮은지 확인합니다. (2차식으로 나누었으므로 나머지는 1차 이하의 식이 됩니다.)

Step 1: 다항식 $P (x)$ 구하기

다항식 $P (x)$ 를 $x + 2$ 로 나누었을 때의 몫이 $x^{2} - 4 x - 3$ 이고 나머지가 8이라고 주어졌습니다. 다항식 나눗셈의 관계식 $P (x) = (나누는 식) \times (몫) + (나머지)$ 를 이용하여 $P (x)$ 를 나타냅니다.

$P (x) = (x + 2) (x^{2} - 4 x - 3) + 8$

이제 이 식을 전개하여 $P (x)$ 를 간단한 다항식 형태로 만듭니다.

$P (x) = x (x^{2} - 4 x - 3) + 2 (x^{2} - 4 x - 3) + 8$

$= (x^{3} - 4 x^{2} - 3 x) + (2 x^{2} - 8 x - 6) + 8$

동류항끼리 정리합니다.

$P (x) = x^{3} + (- 4 + 2) x^{2} + (- 3 - 8) x + (- 6 + 8)$

$P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 2$

Step 2: 다항식 나눗셈 실행 ( $P (x) \div (x^{2} + 1)$ )

Step 1에서 구한 $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 2$ 를 $x^{2} + 1$ 로 나눕니다. 다항식의 나눗셈 과정을 따릅니다.

x – 2 <-- 몫 ____________ x²+1 | x³ - 2x² - 11x + 2 |-(x³ + x) |___________ | -2x² - 12x + 2 | -(-2x² - 2) | ____________ | -12x + 4 <-- 나머지

나눗셈 과정 설명:

Step 3: 나머지 확인

나눗셈 결과로 얻어진 나머지는 $- 12 x + 4$ 입니다. 이 나머지는 1차식으로, 나누는 식 $x^{2} + 1$ 의 차수인 2보다 낮습니다. 따라서 이 식이 최종적인 나머지입니다.

이 문제는 다항식의 나눗셈에 대한 기본적인 이해를 요구합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.

다항식 나눗셈의 원리: 임의의 다항식 $A (x)$ 를 다항식 $B (x)$ ( $B (x) \neq 0$ )로 나누었을 때, 몫을 $Q (x)$ 라 하고 나머지를 $R (x)$ 라 하면 다음과 같은 항등식이 성립합니다.
$A (x) = B (x) Q (x) + R (x)$
여기서 $R (x)$ 의 차수는 $B (x)$ 의 차수보다 작거나, $R (x) = 0$ 입니다.
다항식의 나눗셈 방법 (세로셈): 숫자의 나눗셈과 유사하게, 다항식을 내림차순으로 정리하고 최고차항의 계수를 맞추어 가며 빼는 과정을 반복하여 몫과 나머지를 구합니다.
나머지의 차수: 나누는 다항식의 차수가 $n$ 이면, 나머지의 차수는 $n - 1$ 이하입니다. 예를 들어, 2차식으로 나누면 나머지는 1차식이거나 상수가 됩니다.

이 문제에서는 첫 번째 나눗셈 정보를 이용하여 나누어지는 다항식 $P (x)$ 를 구하고, 구해진 $P (x)$ 를 두 번째 나누는 식으로 직접 나누어 나머지를 찾는 표준적인 풀이 방법을 사용했습니다.

③ $- 12 x + 4$

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