다항식 나눗셈 – 나누는 식 구하기 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 다항식 \(A(x) = x^4 + 3x^3 – 4x – 7\)을 다항식 \(P(x)\)로 나누었을 때의 몫과 나머지를 알려주고, 나누는 식 \(P(x)\)를 구한 후 \(P(x)\)의 \(x\)의 계수와 상수항을 이용하여 \(a – b\)의 값을 구하는 문제입니다.
- 다항식 나눗셈 관계식 활용: \(A(x) = P(x)Q(x) + R(x)\) 관계식을 세웁니다. 여기서 \(A(x)\)는 나누어지는 식, \(P(x)\)는 나누는 식, \(Q(x)\)는 몫, \(R(x)\)는 나머지입니다.
- \(P(x)Q(x)\) 꼴로 변형: 위 관계식을 \(A(x) – R(x) = P(x)Q(x)\) 형태로 변형합니다.
- 다항식 \(P(x)\) 구하기: 변형된 식의 좌변 \(A(x) – R(x)\)를 계산하고, 이 결과를 몫 \(Q(x)\)로 나누면 나누는 식 \(P(x)\)를 얻을 수 있습니다. 즉, \(P(x) = \frac{A(x) – R(x)}{Q(x)}\)를 계산합니다. 이를 위해 다항식 나눗셈을 실행합니다.
- 계수 확인 및 최종 계산: 구해진 다항식 \(P(x)\)에서 \(x\)의 계수 \(a\)와 상수항 \(b\)를 찾고, \(a – b\)의 값을 계산합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 다항식 나눗셈 관계식 설정
주어진 정보에 따라 다항식 나눗셈 관계식 \(A(x) = P(x)Q(x) + R(x)\)를 작성합니다.
나누어지는 식 \(A(x) = x^4 + 3x^3 – 4x – 7\)
나누는 식 \(P(x)\)
몫 \(Q(x) = x^2 + x + 2\)
나머지 \(R(x) = -4x + 1\)
$$ x^4 + 3x^3 – 4x – 7 = P(x)(x^2 + x + 2) + (-4x + 1) $$
Step 2: \(P(x)Q(x)\) 꼴로 변형
나머지 \(R(x)\)를 좌변으로 이항하여 \(P(x)Q(x)\)를 구합니다.
$$ P(x)(x^2 + x + 2) = (x^4 + 3x^3 – 4x – 7) – (-4x + 1) $$
$$ P(x)(x^2 + x + 2) = x^4 + 3x^3 – 4x – 7 + 4x – 1 $$
동류항을 정리합니다.
$$ P(x)(x^2 + x + 2) = x^4 + 3x^3 – 8 $$
Step 3: 다항식 \(P(x)\) 구하기 (나눗셈 실행)
이제 다항식 \(x^4 + 3x^3 – 8\)을 \(x^2 + x + 2\)로 나누면 \(P(x)\)를 얻을 수 있습니다.
x² + 2x – 4 <-- 몫 P(x)
____________
x²+x+2 | x⁴ + 3x³ + 0x² + 0x - 8 <-- 없는 차수는 0으로 채움
|-(x⁴ + x³ + 2x²)
|_________________
| 2x³ - 2x² + 0x
| -(2x³ + 2x² + 4x)
| _________________
| -4x² - 4x - 8
| -(-4x² - 4x - 8)
| _________________
| 0 <-- 나머지
나눗셈 결과, 몫은 \(x^2 + 2x – 4\)이고 나머지는 0입니다. 따라서,
$$ P(x) = x^2 + 2x – 4 $$
Step 4: 계수 확인 및 \(a – b\) 계산
\(P(x) = x^2 + 2x – 4\)에서 \(x\)의 계수 \(a\)는 2이고, 상수항 \(b\)는 -4입니다.
$$ a = 2, \quad b = -4 $$
문제에서 요구하는 \(a – b\)의 값은,
$$ a – b = 2 – (-4) = 2 + 4 = 6 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식 나눗셈의 기본 원리를 이용하여 나누는 식을 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 다항식 나눗셈의 항등식: \(A(x) = B(x)Q(x) + R(x)\) 관계는 나눗셈 문제 해결의 기본입니다. 여기서 \(A(x)\)는 나누어지는 식, \(B(x)\)는 나누는 식, \(Q(x)\)는 몫, \(R(x)\)는 나머지입니다.
- 나누는 식 구하기: 위 항등식을 변형하면 \(B(x) = \frac{A(x) – R(x)}{Q(x)}\)가 됩니다. 즉, \(A(x) – R(x)\)를 몫 \(Q(x)\)로 나누면 나누는 식 \(B(x)\)를 구할 수 있습니다. 이때 나머지는 반드시 0이 되어야 합니다.
- 다항식 나눗셈 방법: 다항식을 직접 나누는 세로셈 방법을 정확하게 수행할 수 있어야 합니다. 특히, 나누어지는 식에 특정 차수의 항이 없을 경우, 계수를 0으로 간주하고 자리를 비워두거나 명시적으로 \(0x^k\)를 써서 계산 실수를 줄이는 것이 좋습니다.
- 계수 비교: 다항식의 각 항의 계수와 상수항을 정확히 식별할 수 있어야 합니다.
이 문제에서는 다항식 나눗셈의 항등식을 이용하여 나누는 식 \(P(x)\)를 구하는 과정을 거쳤습니다. \(A=PQ+R\)을 \(A-R=PQ\)로 변형하고, \(A-R\)을 \(Q\)로 나누어 \(P\)를 구하는 것이 핵심적인 풀이 방법입니다.
✅ 최종 정답
\(6\)