고1수학 - 발전 - 12202325 - 42번

다항식 나눗셈과 관계식 문제 풀이

문제 이해 및 풀이 전략

주어진 문제는 다항식 $A (x) = x^{4} - x^{2} + 4 x - 3$ 을 $P (x)$ 로 나누었을 때의 몫이 $Q (x)$ 이고 나머지가 $6 x - 5$ 라는 정보와, 그 몫 $Q (x)$ 를 $x - 1$ 로 나누었을 때의 몫과 나머지를 알려주고, 최종적으로 $P (x) - Q (x)$ 를 구하는 문제입니다.

$Q (x)$ 구하기: 두 번째 나눗셈 정보 ( $Q (x)$ 를 $x - 1$ 로 나누는)를 이용하여 다항식 $Q (x)$ 를 먼저 구합니다. $Q (x) = (나누는 식) \times (몫) + (나머지)$ 공식을 사용합니다.
$P (x)$ 구하기: 첫 번째 나눗셈 정보 $A (x) = P (x) Q (x) + (6 x - 5)$ 를 이용하여 $P (x)$ 를 구합니다.
- 식을 $A (x) - (6 x - 5) = P (x) Q (x)$ 로 변형합니다.
- 좌변 $A (x) - (6 x - 5)$ 를 계산합니다.
- 계산된 결과를 Step 1에서 구한 $Q (x)$ 로 나누면 $P (x)$ 를 얻을 수 있습니다. 즉, $P (x) = \frac{A (x) - (6 x - 5)}{Q (x)}$ 를 계산합니다.
$P (x) - Q (x)$ 계산: 구한 $P (x)$ 와 $Q (x)$ 를 이용하여 $P (x) - Q (x)$ 를 계산합니다.

단계별 풀이 과정

Step 1: 다항식 $Q (x)$ 구하기

다항식 $Q (x)$ 를 $x - 1$ 로 나누었을 때의 몫이 $x + 3$ 이고 나머지가 5라고 주어졌습니다. 나눗셈 관계식 $Q (x) = (x - 1) (x + 3) + 5$ 를 이용하여 $Q (x)$ 를 구합니다.

$Q (x) = (x - 1) (x + 3) + 5$

전개하여 정리합니다.

$Q (x) = (x^{2} + 3 x - x - 3) + 5$

$Q (x) = x^{2} + 2 x - 3 + 5$

$Q (x) = x^{2} + 2 x + 2$

Step 2: 다항식 $P (x)$ 구하기

다항식 $x^{4} - x^{2} + 4 x - 3$ 을 $P (x)$ 로 나누었을 때의 몫이 $Q (x)$ 이고 나머지가 $6 x - 5$ 이므로, 관계식은 다음과 같습니다.

$x^{4} - x^{2} + 4 x - 3 = P (x) Q (x) + (6 x - 5)$

이 식을 $P (x) Q (x)$ 에 대해 정리합니다.

$P (x) Q (x) = (x^{4} - x^{2} + 4 x - 3) - (6 x - 5)$

$P (x) Q (x) = x^{4} - x^{2} + 4 x - 3 - 6 x + 5$

$P (x) Q (x) = x^{4} - x^{2} - 2 x + 2$

이제 $P (x)$ 를 구하기 위해 $x^{4} - x^{2} - 2 x + 2$ 를 $Q (x) = x^{2} + 2 x + 2$ 로 나눕니다.

x² – 2x + 1 <-- 몫 P(x) ____________ x²+2x+2 | x⁴ + 0x³ - x² - 2x + 2 <-- 없는 차수는 0으로 채움 |-(x⁴ + 2x³ + 2x²) |_________________ | -2x³ - 3x² - 2x | -(-2x³ - 4x² - 4x) | _________________ | x² + 2x + 2 | -(x² + 2x + 2) | ___________ | 0 <-- 나머지

나눗셈 결과, 몫은 $x^{2} - 2 x + 1$ 이고 나머지는 0입니다. 따라서,

$P (x) = x^{2} - 2 x + 1$

Step 3: $P (x) - Q (x)$ 계산

Step 1과 Step 2에서 구한 $P (x)$ 와 $Q (x)$ 를 이용하여 $P (x) - Q (x)$ 를 계산합니다.

$P (x) - Q (x) = (x^{2} - 2 x + 1) - (x^{2} + 2 x + 2)$

$= x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} - 2 x - 2$

동류항끼리 정리합니다.

$= (x^{2} - x^{2}) + (- 2 x - 2 x) + (1 - 2)$

$= - 4 x - 1$

마무리 개념 정리

이 문제는 두 번의 다항식 나눗셈 관계를 이용하여 두 다항식 $P (x)$ 와 $Q (x)$ 를 구하고, 그 차를 계산하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.

다항식 나눗셈의 항등식: $A (x) = B (x) Q (x) + R (x)$ 관계는 다양한 나눗셈 문제를 푸는 기본 원리입니다. 이 문제에서는 몫 $Q (x)$ 를 먼저 구하고, 그 결과를 이용하여 나누는 식 $P (x)$ 를 구하는 데 사용되었습니다.
연쇄적인 정보 활용: 한 나눗셈의 결과(몫 $Q (x)$ )가 다른 나눗셈의 정보로 연결되는 경우, 먼저 구할 수 있는 다항식( $Q (x)$ )을 구한 후, 그 결과를 이용하여 다음 단계( $P (x)$ 구하기)를 진행해야 합니다.
다항식의 연산: 다항식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 정확하게 수행하는 능력이 필요합니다. 특히, 다항식 나눗셈(세로셈) 과정을 실수 없이 진행하는 것이 중요합니다.

문제의 정보를 단계적으로 이용하여 필요한 다항식을 차례대로 구하고, 최종적으로 요구하는 값을 계산하는 과정이 중요합니다.

최종 정답

④ $- 4 x - 1$

고1수학 – 발전 – 12202325 – 42번

Bygommath

다항식 나눗셈과 관계식 문제 풀이

문제 이해 및 풀이 전략

단계별 풀이 과정

마무리 개념 정리

최종 정답

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