다항식 나눗셈과 계수 비교 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 다항식 \(A(x) = x^4 + (a^2 – a – 1)x^2 + (-a^2 – b)x – b^3\)을 \(B(x) = x^2 – x – a\)로 나누었을 때의 나머지가 \(3x + 9\)라는 정보를 이용하여 상수 \(a, b\)에 대해 \(ab\)의 값을 구하는 문제입니다.
- 직접 나눗셈 수행: 다항식 \(A(x)\)를 \(B(x)\)로 직접 나누어 나머지를 \(a\)와 \(b\)에 대한 식으로 구합니다.
- 나머지 비교: 계산된 나머지를 문제에서 주어진 나머지 \(3x + 9\)와 같다고 놓습니다.
- 계수 비교: 두 다항식이 같다는 항등식의 성질을 이용하여 \(x\)의 계수와 상수항을 각각 비교하여 \(a\)와 \(b\)에 대한 연립 방정식을 세웁니다.
- \(ab\) 값 계산: 세워진 연립 방정식을 풀거나, 곱셈 공식 변형을 이용하여 \(ab\)의 값을 직접 계산합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 다항식 직접 나눗셈 수행
다항식 \(x^4 + 0x^3 + (a^2 – a – 1)x^2 + (-a^2 – b)x – b^3\)을 \(x^2 – x – a\)로 나눕니다. (없는 3차항의 계수는 0으로 처리합니다.)
x² + x + a² <-- 몫
___________________
x²-x-a | x⁴ + 0x³ + (a²-a-1)x² + (-a²-b)x - b³
|-(x⁴ - x³ - ax²)
|_________________________
| x³ + (a²-1)x² + (-a²-b)x
| -( x³ - x² - ax)
| _________________________
| a²x² + (a-a²-b)x - b³
| -(a²x² - a²x - a³)
| _____________________
| (a - b)x + (a³ - b³) <-- 나머지
나눗셈 결과, 몫은 \(x^2 + x + a^2\)이고 나머지는 \((a – b)x + (a^3 – b^3)\)입니다.
Step 2: 나머지 비교
Step 1에서 계산된 나머지가 문제에서 주어진 나머지 \(3x + 9\)와 같아야 합니다.
$$ (a – b)x + (a^3 – b^3) = 3x + 9 $$
Step 3: 계수 비교를 통한 연립 방정식 설정
위 등식은 \(x\)에 대한 항등식이므로, 양변의 \(x\)의 계수와 상수항이 각각 같아야 합니다.
\(x\)의 계수 비교:
$$ a – b = 3 \quad \cdots (1) $$
상수항 비교:
$$ a^3 – b^3 = 9 \quad \cdots (2) $$
Step 4: \(ab\) 값 계산
곱셈 공식 변형 \(a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)\)를 이용합니다. 식 (1)과 (2)에서 구한 값을 이 공식에 대입합니다.
$$ 9 = (3)^3 + 3ab(3) $$
$$ 9 = 27 + 9ab $$
\(9ab\)에 대해 정리하면,
$$ 9ab = 9 – 27 = -18 $$
따라서 \(ab\)의 값은,
$$ ab = \frac{-18}{9} = -2 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식의 나눗셈과 항등식의 성질 (계수 비교법), 그리고 곱셈 공식의 변형을 종합적으로 활용하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 다항식 나눗셈: 다항식을 다른 다항식으로 나누어 몫과 나머지를 구하는 과정입니다. 나누는 식의 차수보다 나머지의 차수는 항상 작아야 합니다. 직접 나눗셈(세로셈) 방법을 정확히 수행하는 것이 중요합니다.
- 항등식과 계수 비교법: 두 다항식이 모든 \(x\)에 대해 동일한 값을 가질 때 (항등식), 양변의 동류항의 계수는 서로 같아야 합니다. 이 성질을 이용하여 미지수를 포함한 방정식을 세울 수 있습니다.
- 곱셈 공식 변형: \(a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)\)와 같은 곱셈 공식 변형은 합/차와 곱의 관계를 이용하여 식의 값을 구하는 데 유용하게 사용됩니다.
문제 해결 과정에서 다항식 나눗셈을 통해 나머지를 미지수 \(a, b\)로 표현하고, 이를 주어진 나머지와 비교하여 \(a-b\)와 \(a^3-b^3\)의 값을 알아낸 후, 곱셈 공식을 활용하여 최종 목표인 \(ab\)의 값을 구했습니다.
✅ 최종 정답
\(-2\)