직사각형, 무게중심, 넓이 구하기 문제 풀이
(오른쪽 그림과 같이 직사각형 ABCD의 변 AD의 중점을 M, 삼각형 MBC의 무게중심을 G라 하자.)
\(\overline{AM} + \overline{MG} = 2x + y – 1\)
\(\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} = 4x + 3y + 5\)
일 때, 삼각형 GBC의 넓이를 \(x, y\)에 대한 식으로 나타내면?
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 직사각형의 변의 중점과 특정 삼각형의 무게중심을 이용하여, 주어진 길이 관계식을 통해 다른 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다. 도형의 성질과 무게중심의 성질을 이용하여 변의 길이를 미지수로 설정하고, 주어진 식을 연립하여 해결하는 전략을 사용합니다.
- 변수 설정: 직사각형의 변과 관련된 길이를 미지수 \(a, b\) 등으로 설정합니다. \(\overline{AM} = a\), \(\overline{AB} = b\)로 둡니다.
- 도형의 성질 활용: 직사각형의 성질과 중점의 정의를 이용하여 다른 변의 길이를 \(a, b\)로 표현합니다. (\(\overline{AD} = 2a\), \(\overline{BC} = 2a\), \(\overline{CD} = b\))
- 무게중심의 성질 활용: 삼각형 MBC의 무게중심 G의 성질을 이용하여 \(\overline{MG}\)의 길이를 \(b\)로 표현합니다. (M에서 BC에 내린 수선의 발을 N이라 하면, MN의 길이는 \(b\)이고, 무게중심은 중선을 2:1로 내분하므로 \(\overline{MG} = \frac{2}{3} \overline{MN} = \frac{2}{3}b\))
- 연립방정식 설정: 주어진 두 개의 길이 관계식을 \(a, b\)에 대한 방정식으로 변환합니다.
- 연립방정식 풀이: 두 방정식을 연립하여 \(a\)와 \(b\)를 \(x, y\)에 대한 식으로 각각 구합니다.
- 삼각형 GBC의 넓이 계산: 삼각형 GBC의 넓이를 \(a, b\)를 이용하여 표현합니다. (무게중심의 성질에 따라 \(\triangle GBC = \frac{1}{3} \triangle MBC\) 임을 이용하거나, 밑변 \(\overline{BC}\)와 높이(G에서 BC까지의 거리, 즉 \(\frac{1}{3}b\))를 이용하여 계산합니다.)
- 최종 식 도출: 넓이 식에 구한 \(a, b\)를 대입하고 정리하여 \(x, y\)에 대한 식으로 나타냅니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 변수 설정 및 길이 표현
\(\overline{AM} = a\), \(\overline{AB} = b\)라고 설정합니다.
M은 AD의 중점이므로, \(\overline{AD} = 2\overline{AM} = 2a\).
ABCD는 직사각형이므로, \(\overline{BC} = \overline{AD} = 2a\)이고 \(\overline{CD} = \overline{AB} = b\).
Step 2: 무게중심 성질 활용 (\(\overline{MG}\) 계산)
삼각형 MBC에서 점 M에서 밑변 BC에 내린 수선의 길이는 직사각형의 높이와 같으므로 \(\overline{AB} = b\)입니다. 무게중심 G는 꼭짓점 M으로부터 중선(여기서는 높이)을 2:1로 내분하는 점에 위치합니다. 따라서 M으로부터 밑변 BC 방향으로의 거리는 전체 높이의 \(\frac{2}{3}\)입니다. (해설 이미지에서는 이 거리를 MG로 표현했으나, 엄밀히는 M에서 BC까지 내린 수선 위의 점입니다. 해설 풀이를 따르겠습니다.)
해설에서는 M에서 BC에 내린 수선의 발을 N이라 할 때 \(MN = b\)이고, \(G\)는 \(MN\)을 \(2:1\)로 내분하는 점으로 간주하여 \(\overline{MG} = \frac{2}{3} \overline{MN} = \frac{2}{3}b\)로 계산한 것으로 보입니다.
$$ \overline{MG} = \frac{2}{3}b $$
(참고: 도형 문제에서 MG는 일반적으로 꼭짓점과 무게중심 사이의 선분 길이를 의미합니다. 위 풀이는 해설의 흐름을 따른 것입니다.)
Step 3: 첫 번째 조건식 설정
주어진 조건 \(\overline{AM} + \overline{MG} = 2x + y – 1\)에 Step 1과 Step 2의 결과를 대입합니다.
$$ a + \frac{2}{3}b = 2x + y – 1 $$
양변에 3을 곱하여 분수를 없애줍니다.
$$ 3a + 2b = 3(2x + y – 1) = 6x + 3y – 3 \quad \cdots (1) $$
Step 4: 두 번째 조건식 설정
주어진 조건 \(\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} = 4x + 3y + 5\)에 Step 1의 결과를 대입합니다.
$$ b + 2a + b = 4x + 3y + 5 $$
$$ 2a + 2b = 4x + 3y + 5 \quad \cdots (2) $$
Step 5: 연립방정식 풀이 (\(a\) 구하기)
식 (1)에서 식 (2)를 빼서 \(b\)를 소거하고 \(a\)를 구합니다.
$$ (3a + 2b) – (2a + 2b) = (6x + 3y – 3) – (4x + 3y + 5) $$
$$ a = 6x + 3y – 3 – 4x – 3y – 5 $$
$$ a = (6x – 4x) + (3y – 3y) + (-3 – 5) $$
$$ a = 2x – 8 $$
Step 6: 연립방정식 풀이 (\(b\) 구하기)
구한 \(a = 2x – 8\)을 식 (2) \(2a + 2b = 4x + 3y + 5\)에 대입하여 \(b\)를 구합니다.
$$ 2(2x – 8) + 2b = 4x + 3y + 5 $$
$$ 4x – 16 + 2b = 4x + 3y + 5 $$
\(4x\)를 소거하고 \(2b\)에 대해 정리합니다.
$$ 2b = 3y + 5 + 16 $$
$$ 2b = 3y + 21 $$
$$ b = \frac{3y + 21}{2} = \frac{3}{2}(y + 7) $$
Step 7: 삼각형 GBC의 넓이 계산
무게중심 G는 삼각형 MBC의 넓이를 3등분합니다. 따라서 \(\triangle GBC = \frac{1}{3} \triangle MBC\)입니다.
삼각형 MBC의 넓이는 밑변 \(\overline{BC}\)와 높이 \(\overline{AB}\)를 이용하여 계산할 수 있습니다.
$$ \triangle MBC = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2} \times \overline{BC} \times \overline{AB} $$
$$ = \frac{1}{2} \times (2a) \times b = ab $$
따라서, 삼각형 GBC의 넓이는 다음과 같습니다.
$$ \triangle GBC = \frac{1}{3} \triangle MBC = \frac{1}{3} ab $$
이제 Step 5와 Step 6에서 구한 \(a\)와 \(b\)를 대입합니다.
$$ \triangle GBC = \frac{1}{3} (2x – 8) \left( \frac{3}{2}(y + 7) \right) $$
상수항을 먼저 계산하여 정리합니다.
$$ = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} \times (2x – 8)(y + 7) $$
$$ = \frac{1}{2} \times 2(x – 4)(y + 7) $$
$$ = (x – 4)(y + 7) $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 직사각형의 성질, 중점의 정의, 삼각형의 무게중심 성질, 그리고 삼각형의 넓이 계산을 복합적으로 활용하여 대수적인 연립방정식을 풀어내는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 직사각형의 성질: 마주보는 변의 길이가 같고, 모든 각은 직각입니다.
- 중점: 선분을 길이가 같은 두 부분으로 나누는 점입니다.
- 삼각형의 무게중심:
- 세 중선의 교점입니다.
- 각 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분합니다.
- 무게중심은 삼각형의 넓이를 3등분하는 세 개의 작은 삼각형(예: \(\triangle GAB, \triangle GBC, \triangle GCA\))을 만듭니다. 즉, \(\triangle GBC = \frac{1}{3} \triangle ABC\). (여기서는 \(\triangle MBC\) 기준)
- 꼭짓점에서 마주보는 변까지의 수직 거리(높이) 관점에서 보면, 무게중심에서 밑변까지의 거리는 꼭짓점에서 밑변까지의 높이의 \(\frac{1}{3}\)입니다.
- 삼각형의 넓이: \((\text{넓이}) = \frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이})\).
- 연립방정식 풀이: 미지수와 방정식의 개수가 같을 때, 가감법이나 대입법을 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있습니다.
도형의 기하학적 성질을 이용하여 길이 관계를 식으로 표현하고, 주어진 대수적 조건을 연립하여 미지수를 구한 뒤, 최종적으로 넓이를 계산하는 과정이 중요합니다.
✅ 최종 정답
③ \((x – 4)(y + 7)\)