다항식 값 구하기 문제 풀이 (곱셈 공식 활용)
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 다항식 \(P(x, y, z) = xy + yz + zx – 4\)와 세 실수 \(a, b, c\)에 대한 세 가지 조건 (가), (나), (다)를 이용하여, \(P(ab, ab, ab) + P(bc, bc, bc) + P(ca, ca, ca)\)의 값을 구하는 문제입니다.
- 조건 분석: 주어진 조건 (나)와 (다)에 다항식 \(P(x, y, z)\)의 정의를 대입하여 \(a, b, c\)에 대한 기본적인 대칭식 (\(a+b+c\), \(a^2+b^2+c^2\))의 값을 구합니다.
- \(ab+bc+ca\) 값 계산: 곱셈 공식을 이용하여 위에서 구한 \(a+b+c\)와 \(a^2+b^2+c^2\)의 값으로부터 \(ab+bc+ca\)의 값을 계산합니다.
- 목표 식 변형 및 계산: 구하고자 하는 식에 \(P(x,y,z)\) 정의를 대입하여 \(ab, bc, ca\)에 대한 식으로 나타냅니다. 이 식은 \((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\)을 포함하게 됩니다.
- \((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\) 값 계산: 곱셈 공식을 다시 이용하여 \(ab+bc+ca\)와 \(abc\), \(a+b+c\)의 값으로부터 \((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\)의 값을 계산합니다.
- 최종 값 대입: 위에서 계산된 값들을 목표 식에 대입하여 최종 답을 구합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 조건 (나) 분석 및 \(a^2 + b^2 + c^2\) 값 구하기
다항식 \(P(x, y, z) = xy + yz + zx – 4\)에서 \(x=y=z\)인 경우, \(P(x, x, x) = x^2 + x^2 + x^2 – 4 = 3x^2 – 4\)입니다.
조건 (나)는 \(P(a, a, a) + P(b, b, b) + P(c, c, c) = 84\)이므로,
$$ (3a^2 – 4) + (3b^2 – 4) + (3c^2 – 4) = 84 $$
$$ 3(a^2 + b^2 + c^2) – 12 = 84 $$
$$ 3(a^2 + b^2 + c^2) = 96 $$
$$ a^2 + b^2 + c^2 = 32 \quad \cdots (1) $$
Step 2: 조건 (다) 분석 및 \(a + b + c\) 값 구하기
\(P(a, 1, 1) = a \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot a – 4 = 2a – 3\)
\(P(1, b, 1) = 1 \cdot b + b \cdot 1 + 1 \cdot 1 – 4 = 2b – 3\)
\(P(1, 1, c) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot c + c \cdot 1 – 4 = 2c – 3\)
조건 (다)는 \(P(a, 1, 1) + P(1, b, 1) + P(1, 1, c) = 3\)이므로,
$$ (2a – 3) + (2b – 3) + (2c – 3) = 3 $$
$$ 2(a + b + c) – 9 = 3 $$
$$ 2(a + b + c) = 12 $$
$$ a + b + c = 6 \quad \cdots (2) $$
Step 3: \(ab + bc + ca\) 값 구하기
곱셈 공식 \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)\)를 이용합니다. Step 1과 Step 2에서 구한 값을 대입합니다.
$$ (6)^2 = (32) + 2(ab + bc + ca) $$
$$ 36 = 32 + 2(ab + bc + ca) $$
$$ 2(ab + bc + ca) = 36 – 32 = 4 $$
$$ ab + bc + ca = 2 \quad \cdots (3) $$
Step 4: 구하고자 하는 식 변형
구하고자 하는 식은 \(P(ab, ab, ab) + P(bc, bc, bc) + P(ca, ca, ca)\)입니다.
Step 1에서 \(P(x, x, x) = 3x^2 – 4\)임을 이용하면,
$$ = (3(ab)^2 – 4) + (3(bc)^2 – 4) + (3(ca)^2 – 4) $$
$$ = 3((ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2) – 12 \quad \cdots (4) $$
Step 5: \((ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2\) 값 구하기
곱셈 공식 \((X + Y + Z)^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 + 2(XY + YZ + ZX)\)에서 \(X = ab, Y = bc, Z = ca\)로 둡니다.
$$ (ab + bc + ca)^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 2(ab \cdot bc + bc \cdot ca + ca \cdot ab) $$
$$ (ab + bc + ca)^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 2(ab^2c + bc^2a + ca^2b) $$
뒤의 괄호 안에서 공통 인수 \(abc\)를 묶어냅니다.
$$ (ab + bc + ca)^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 2abc(b + c + a) $$
Step 2, Step 3에서 구한 값과 조건 (가) \(abc = -12\)를 대입합니다.
$$ (2)^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 2(-12)(6) $$
$$ 4 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 – 144 $$
$$ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 = 4 + 144 = 148 $$
Step 6: 최종 값 계산
Step 5에서 구한 값을 식 (4)에 대입합니다.
$$ P(ab, ab, ab) + P(bc, bc, bc) + P(ca, ca, ca) = 3((ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2) – 12 $$
$$ = 3(148) – 12 $$
$$ = 444 – 12 = 432 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식의 정의 이해, 곱셈 공식의 다단계 적용, 그리고 대칭식의 성질을 활용하는 복합적인 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 다항식 값 대입: 주어진 다항식에 특정 값이나 변수를 대입하여 식을 계산하는 능력.
- 곱셈 공식:
- \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\)
- \((X+Y+Z)^2 = X^2+Y^2+Z^2+2(XY+YZ+ZX)\) 와 같이 치환하여 활용할 수 있습니다. 이 문제에서는 \(X=ab, Y=bc, Z=ca\)로 치환하여 사용했습니다.
- 대칭식: \(a, b, c\)의 기본 대칭식 (\(a+b+c\), \(ab+bc+ca\), \(abc\))과 거듭제곱의 합 (\(a^2+b^2+c^2\), \((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\)) 사이의 관계를 이해하고 활용하는 것이 중요합니다.
- 조건의 체계적 활용: 주어진 여러 조건들을 순서대로 분석하여 필요한 값 (\(a^2+b^2+c^2\), \(a+b+c\), \(ab+bc+ca\), \((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\))을 단계적으로 구해나가는 능력이 필요합니다.
문제의 조건을 분석하여 기본적인 대칭식의 값을 구하고, 이를 바탕으로 더 복잡한 형태의 대칭식 값을 계산하여 최종 목표 식의 값을 구하는 과정이 문제 해결의 핵심입니다.
✅ 최종 정답
\(432\)