육각형 내 삼각형 넓이 합 구하기 문제 풀이
(오른쪽 그림과 같이 육각형 ABCDEF의 세 대각선 AD, BE, CF는 한 점 O에서 만나고, 세 삼각형 OAB, OCD, OEF는 각각 정삼각형이다.)
세 정삼각형 OAB, OCD, OEF의 둘레의 길이의 합이 48이고 넓이의 합이 \(30\sqrt{3}\)일 때, 세 삼각형 OBC, ODE, OFA의 넓이의 합은?
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 육각형 내부의 세 정삼각형의 둘레 합과 넓이 합 정보를 이용하여, 나머지 세 삼각형의 넓이 합을 구하는 문제입니다. 정삼각형의 변의 길이를 미지수로 설정하고, 주어진 조건을 이용하여 대칭식의 값을 구한 후, 삼각형 넓이 공식을 적용하는 전략을 사용합니다.
- 변수 설정: 세 정삼각형 OAB, OCD, OEF의 한 변의 길이를 각각 \(a, b, c\)로 설정합니다. 즉, \(\overline{OA} = \overline{OB} = a\), \(\overline{OC} = \overline{OD} = b\), \(\overline{OE} = \overline{OF} = c\)입니다.
- 둘레 조건 활용: 세 정삼각형의 둘레 합 조건을 이용하여 \(a+b+c\)의 값을 구합니다.
- 넓이 조건 활용: 세 정삼각형의 넓이 합 조건을 정삼각형 넓이 공식(\(\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{한 변})^2\))을 이용하여 \(a^2+b^2+c^2\)의 값을 구합니다.
- \(ab+bc+ca\) 값 계산: 곱셈 공식 \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\)를 이용하여 \(ab+bc+ca\)의 값을 계산합니다.
- 목표 넓이 합 계산: 세 삼각형 OBC, ODE, OFA의 넓이 합을 \(a, b, c\)로 표현합니다. 이때, 두 변과 끼인각을 이용한 삼각형 넓이 공식(\(\frac{1}{2}uv \sin\theta\))을 사용합니다. 문제의 구조상 끼인각(\(\angle BOC, \angle DOE, \angle FOA\))은 모두 60°임을 이용합니다.
- 최종 값 대입: 계산된 \(ab+bc+ca\) 값을 넓이 합 공식에 대입하여 최종 답을 구합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 변수 설정 및 둘레 조건 활용
세 정삼각형 OAB, OCD, OEF의 한 변의 길이를 각각 \(a, b, c\)로 둡니다.
세 정삼각형의 둘레는 각각 \(3a, 3b, 3c\)입니다. 둘레의 합이 48이므로,
$$ 3a + 3b + 3c = 48 $$
양변을 3으로 나누면,
$$ a + b + c = 16 \quad \cdots (1) $$
Step 2: 넓이 조건 활용
한 변의 길이가 \(s\)인 정삼각형의 넓이는 \(\frac{\sqrt{3}}{4}s^2\)입니다. 세 정삼각형의 넓이는 각각 \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\), \(\frac{\sqrt{3}}{4}b^2\), \(\frac{\sqrt{3}}{4}c^2\)입니다. 넓이의 합이 \(30\sqrt{3}\)이므로,
$$ \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}c^2 = 30\sqrt{3} $$
양변에 \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)을 곱하면,
$$ a^2 + b^2 + c^2 = 30\sqrt{3} \times \frac{4}{\sqrt{3}} = 120 \quad \cdots (2) $$
Step 3: \(ab + bc + ca\) 값 구하기
곱셈 공식 \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)\)를 이용합니다. 식 (1)과 (2)의 값을 대입합니다.
$$ (16)^2 = (120) + 2(ab + bc + ca) $$
$$ 256 = 120 + 2(ab + bc + ca) $$
$$ 2(ab + bc + ca) = 256 – 120 = 136 $$
$$ ab + bc + ca = 68 \quad \cdots (3) $$
Step 4: 세 삼각형 OBC, ODE, OFA의 넓이 합 계산
점 O 주위의 각의 합은 360°입니다. \(\angle AOB = \angle COD = \angle EOF = 60^\circ\)이므로,
$$ \angle BOC + \angle DOE + \angle FOA = 360^\circ – (60^\circ + 60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ $$
문제의 대칭적인 구조상 (또는 정육각형 형태를 생각하면) \(\angle BOC = \angle DOE = \angle FOA = 60^\circ\)임을 알 수 있습니다.
삼각형 넓이 공식 \(\frac{1}{2}uv \sin\theta\)를 이용합니다. (\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\))
Area(\(\triangle OBC\)) = \(\frac{1}{2} \overline{OB} \cdot \overline{OC} \sin 60^\circ = \frac{1}{2} a b \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}ab\)
Area(\(\triangle ODE\)) = \(\frac{1}{2} \overline{OD} \cdot \overline{OE} \sin 60^\circ = \frac{1}{2} b c \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}bc\)
Area(\(\triangle OFA\)) = \(\frac{1}{2} \overline{OF} \cdot \overline{OA} \sin 60^\circ = \frac{1}{2} c a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}ca\)
세 삼각형 넓이의 합은,
$$ \text{합} = \frac{\sqrt{3}}{4}ab + \frac{\sqrt{3}}{4}bc + \frac{\sqrt{3}}{4}ca = \frac{\sqrt{3}}{4}(ab + bc + ca) $$
Step 5: 최종 값 계산
Step 3에서 구한 \(ab + bc + ca = 68\)을 Step 4의 넓이 합 공식에 대입합니다.
$$ \text{합} = \frac{\sqrt{3}}{4}(68) = 17\sqrt{3} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 정삼각형의 성질, 삼각형의 넓이 공식, 그리고 곱셈 공식을 종합적으로 활용하는 기하 및 대수 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 정삼각형의 성질:
- 세 변의 길이가 모두 같습니다.
- 세 내각의 크기가 모두 60°입니다.
- 한 변의 길이가 \(s\)일 때, 둘레는 \(3s\), 넓이는 \(\frac{\sqrt{3}}{4}s^2\)입니다.
- 삼각형의 넓이 공식: 두 변의 길이 \(u, v\)와 그 끼인각의 크기 \(\theta\)를 알 때, 넓이 \(S = \frac{1}{2}uv \sin\theta\)입니다.
- 곱셈 공식: \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\)은 세 변수의 합, 제곱의 합, 두 개씩 곱한 항의 합 사이의 관계를 나타냅니다.
- 도형에서의 각의 활용: 한 점 주위의 각의 합은 360°임을 이용하여 필요한 각의 크기를 유추하거나 계산할 수 있습니다.
문제에서 주어진 조건을 이용하여 \(a+b+c\), \(a^2+b^2+c^2\) 값을 구하고, 이를 통해 \(ab+bc+ca\) 값을 계산한 후, 삼각형 넓이 공식을 적용하여 최종 답을 구하는 단계적인 접근이 필요합니다.
✅ 최종 정답
⑤ \(17\sqrt{3}\)