다항식 나눗셈과 차수 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 다항식 \(A\)를 \(B\)로 나누었을 때의 몫 \(Q\)와 나머지 \(R\) 사이의 관계, 특히 각 다항식의 차수(\(D\))에 대한 명제의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
- 먼저, 다항식 나눗셈의 기본 관계식 \(A = BQ + R\)과 나머지 \(R\)의 차수는 나누는 식 \(B\)의 차수보다 작다는 성질(\(D(R) < D(B)\))을 명확히 이해합니다.
- 주어진 차수 함수 \(D(H)\)의 정의를 확인합니다. (일차 이상 다항식은 차수, 상수는 0)
- 각 보기(ㄱ, ㄴ, ㄷ)가 다항식 나눗셈의 성질과 주어진 조건(\(D(A)=m, D(B)=n, m \ge n\)) 하에서 항상 성립하는지, 아니면 성립하지 않는 경우(반례)가 있는지를 체계적으로 검토합니다.
- 특히, 다항식의 차수 관계(\(\deg(A) = \deg(B) + \deg(Q)\))는 나눗셈이 제대로 이루어질 때 (즉, \(A\)의 차수가 \(B\)의 차수보다 크거나 같을 때) 일반적으로 성립한다는 점을 활용합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 다항식 나눗셈과 차수 관계 정리
다항식 \(A\)를 \(B\)로 나누었을 때 몫을 \(Q\), 나머지를 \(R\)이라 하면 다음 항등식이 성립합니다.
$$ A = BQ + R $$
이때 나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 항상 작습니다.
$$ D(R) < D(B) $$
문제에서 \(D(A) = m\), \(D(B) = n\)이고, \(m \ge n\)인 자연수라고 주어졌습니다. 따라서 \(D(R) < n\)입니다. 또한 \(D(H)\)의 정의에 따라 \(D(R) \ge 0\)입니다.
$$ 0 \le D(R) < n $$
다항식의 곱셈에서 차수는 더해지므로, \(BQ\)의 차수는 \(D(B) + D(Q) = n + D(Q)\)입니다. 항등식 \(A = BQ + R\)에서, \(A\)의 차수는 \(BQ\)의 차수와 \(R\)의 차수 중 큰 쪽에 의해 결정됩니다. 그런데 \(D(R) < n \le m\)이고, \(D(BQ) = n + D(Q)\)입니다. 일반적으로 \(R\)은 나눗셈 결과에서 최고차항에 영향을 주지 않으므로 \(A\)의 차수는 \(BQ\)의 차수와 같습니다.
$$ D(A) = D(BQ) = D(B) + D(Q) $$
$$ m = n + D(Q) $$
이 관계는 \(A\)가 \(B\)로 나누어 떨어지지 않는 경우에도 일반적으로 성립합니다.
Step 2: 보기 ㄱ 검증
보기 ㄱ은 \(D(Q) = n – m\)이라고 주장합니다.
Step 1에서 유도한 차수 관계식 \(m = n + D(Q)\)를 \(D(Q)\)에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$ D(Q) = m – n $$
이는 보기 ㄱ의 주장 \(n – m\)과 부호가 다릅니다. 문제의 해설 이미지를 보면 \(D(Q) = D(A) – D(B) = m-n\)이라고 올바르게 유도하고 있습니다. 따라서 문제 보기 ㄱ 자체에 오타가 있을 가능성이 높습니다. 해설을 기준으로 판단하면, \(D(Q) = m – n\)은 참입니다. (만약 보기가 정말 \(n-m\)이라면 거짓입니다.)
결론: (해설 기준) 보기 ㄱ은 참입니다. (문제 원문 그대로라면 거짓)
Step 3: 보기 ㄴ 검증
보기 ㄴ은 \(m = n\)이면 \(D(Q) = D(R) = 0\)이라고 주장합니다.
3-1: \(D(Q)\) 검증
만약 \(m = n\)이라면, Step 2에서 얻은 \(D(Q) = m – n\)에 따라 \(D(Q) = n – n = 0\)이 됩니다. 즉, 몫 \(Q\)는 0이 아닌 상수입니다. 이 부분은 참입니다.
3-2: \(D(R)\) 검증
나머지 \(R\)의 차수는 \(D(R) < D(B) = n\)이어야 합니다. \(m = n\)이라는 조건만으로 \(D(R) = 0\)이라고 단정할 수는 없습니다.
예를 들어, \(A = x^2 + x + 1\)이고 \(B = x^2 + 1\)이라고 합시다. 그러면 \(m = D(A) = 2\), \(n = D(B) = 2\)이므로 \(m = n\) 조건을 만족합니다.
\(A\)를 \(B\)로 나누면,
$$ x^2 + x + 1 = (x^2 + 1) \cdot 1 + x $$
이때 몫 \(Q = 1\)이고 나머지 \(R = x\)입니다.
\(D(Q) = D(1) = 0\)이지만, \(D(R) = D(x) = 1\)입니다.
따라서 \(m = n\)일 때 \(D(R)\)이 항상 0인 것은 아닙니다. 즉, 보기 ㄴ의 주장 중 \(D(R) = 0\) 부분은 거짓입니다.
결론: 보기 ㄴ은 거짓입니다. (반례 존재)
Step 4: 보기 ㄷ 검증
보기 ㄷ은 \(m + n = 5\)이고 \(D(Q) + D(R) = 2\)이면 \(m + D(R) = 4\)라고 주장합니다.
4-1: \(m+n=5\) 조건 분석
\(m, n\)은 \(m \ge n\)인 자연수이므로, 합이 5가 되는 경우는 다음 두 가지입니다.
- Case 1: \(m = 4, n = 1\)
- Case 2: \(m = 3, n = 2\)
4-2: \(D(Q) = m-n\) 적용
Step 2에서 \(D(Q) = m – n\)임을 확인했습니다. 이 관계를 각 경우에 적용해 봅니다.
4-3: Case 1 (\(m=4, n=1\)) 분석
이 경우 \(D(Q) = m – n = 4 – 1 = 3\)입니다.
문제 조건에서 \(D(Q) + D(R) = 2\)라고 했으므로, \(3 + D(R) = 2\)가 됩니다.
이를 풀면 \(D(R) = 2 – 3 = -1\)이 됩니다.
하지만 다항식의 차수는 음수가 될 수 없습니다 (\(D(R) \ge 0\)). 또한 나머지 조건 \(D(R) < n = 1\)에 따르면 \(D(R)\)은 0이어야 합니다.
따라서 \(m=4, n=1\)인 경우는 주어진 조건 \(D(Q) + D(R) = 2\)를 만족시킬 수 없습니다.
4-4: Case 2 (\(m=3, n=2\)) 분석
이 경우 \(D(Q) = m – n = 3 – 2 = 1\)입니다.
문제 조건에서 \(D(Q) + D(R) = 2\)라고 했으므로, \(1 + D(R) = 2\)가 됩니다.
이를 풀면 \(D(R) = 2 – 1 = 1\)이 됩니다.
나머지 차수 조건 \(D(R) < n\)을 확인합니다. \(D(R) = 1\)이고 \(n = 2\)이므로 \(1 < 2\) 조건을 만족합니다.
따라서 \(m=3, n=2\)인 경우는 주어진 조건을 모두 만족합니다.
4-5: \(m+D(R)\) 값 계산 및 ㄷ 참 확인
조건을 만족하는 유일한 경우는 Case 2, 즉 \(m=3, n=2, D(Q)=1, D(R)=1\)입니다.
이때 \(m + D(R)\)의 값을 계산하면,
$$ m + D(R) = 3 + 1 = 4 $$
이는 보기 ㄷ의 주장과 일치합니다.
결론: 보기 ㄷ은 참입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식 나눗셈 정리와 다항식의 차수에 대한 정확한 이해를 바탕으로 논리적인 추론 능력을 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 다항식 나눗셈 정리: 다항식 \(A(x)\)를 0이 아닌 다항식 \(B(x)\)로 나누었을 때, \(A(x) = B(x)Q(x) + R(x)\)를 만족하는 몫 \(Q(x)\)와 나머지 \(R(x)\)가 유일하게 존재하며, 이때 \(R(x)=0\)이거나 \(R(x)\)의 차수는 \(B(x)\)의 차수보다 작습니다. (\(\deg(R) < \deg(B)\))
- 다항식의 차수 함수 \(D(H)\): 문제에서 정의된 함수로, 다항식의 최고차항의 차수를 나타냅니다. 상수의 차수는 0으로 정의되었습니다.
- 차수의 성질:
- \(\deg(FG) = \deg(F) + \deg(G)\) (단, \(F, G\)는 0이 아닌 다항식)
- \(\deg(F+G) \le \max(\deg(F), \deg(G))\)
- 다항식 나눗셈 \(A = BQ + R\)에서 \(\deg(A) \ge \deg(B)\)일 때, 일반적으로 \(\deg(A) = \deg(B) + \deg(Q)\)가 성립합니다.
- 논리적 추론 및 반례 찾기: 주어진 명제가 항상 참인지 확인하고, 그렇지 않다면 성립하지 않는 구체적인 예(반례)를 찾아 거짓임을 증명해야 합니다.
- 경우 나누어 생각하기: 복잡한 조건을 만족하는 경우를 찾을 때, 가능한 모든 경우를 나누어 체계적으로 분석하는 것이 중요합니다.
각 보기의 참/거짓을 판단하기 위해 다항식 나눗셈의 기본 성질과 차수 관계를 정확히 적용하고, 조건에 맞지 않는 경우를 배제하거나 반례를 통해 명제의 오류를 확인하는 과정을 거쳤습니다.
✅ 최종 정답
주어진 보기가 ㄱ: \(D(Q)=n-m\), ㄴ, ㄷ 이라면 거짓, 거짓, 참 이므로 옳은 것은 ㄷ 뿐입니다. 따라서 정답은 ②번입니다.
(만약 보기 ㄱ이 \(D(Q)=m-n\)으로 제시되었다면 참, 거짓, 참 이므로 정답은 ③번(ㄱ, ㄷ)이 됩니다. 해설 이미지와 문제 보기 사이의 불일치를 고려할 때, 해설을 따라 ②번을 정답으로 채택합니다.)