도형 넓이, 부피, 둘레 관계 문제 풀이
문제 설명:
[그림 1]과 같이 한 변의 길이가 각각 \(x, y\)인 두 정사각형 A, B가 각각 2개씩 있고, 가로, 세로의 길이가 각각 \(x, y\)인 직사각형 C가 1개 있다. 또 [그림 2]와 같이 두 정사각형 A, B를 각각 밑면으로 하는 두 정육면체 P, Q가 각각 2개씩 있다.
[그림 2]의 4개의 정육면체의 겉넓이의 합(\(S_2\))은 [그림 1]의 5개의 직사각형의 넓이의 합(\(S_1\))의 \(\frac{72}{13}\)배이고, [그림 2]의 4개의 정육면체의 모든 모서리의 길이의 합이 480일 때, [그림 2]의 4개의 정육면체의 부피의 합을 구하여라.
📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 문제는 정사각형과 직사각형의 넓이, 그리고 정육면체의 겉넓이, 모서리 길이, 부피 사이의 관계를 묻는 문제입니다. \(x, y\)를 변수로 사용하여 각 도형의 관련 값들을 식으로 표현하고, 주어진 두 가지 조건(겉넓이 관계, 모서리 길이 합)을 이용하여 \(x, y\)에 대한 연립 방정식을 세워 필요한 값(\(x+y\), \(xy\), \(x^3+y^3\))을 구한 후, 최종 목표인 부피의 합을 계산하는 전략을 사용합니다.
- [그림 1] 넓이 합 (\(S_1\)) 계산: 2개의 정사각형 A, 2개의 정사각형 B, 1개의 직사각형 C의 넓이를 각각 구하여 합산합니다.
- [그림 2] 겉넓이 합 (\(S_2\)) 계산: 2개의 정육면체 P, 2개의 정육면체 Q의 겉넓이를 각각 구하여 합산합니다.
- 겉넓이 조건식 설정: \(S_2 = \frac{72}{13} S_1\) 관계식을 \(x, y\)에 대한 식으로 나타내고 정리하여 \(x^2+y^2\)과 \(xy\) 사이의 관계를 구합니다.
- 모서리 길이 조건식 설정: 2개의 정육면체 P, 2개의 정육면체 Q의 모든 모서리 길이의 합이 480임을 이용하여 \(x+y\)의 값을 구합니다.
- \(xy\) 값 계산: 위에서 구한 \(x^2+y^2\)과 \(xy\)의 관계, 그리고 \(x+y\)의 값을 곱셈 공식 \((x+y)^2 = x^2+y^2+2xy\)에 대입하여 \(xy\)의 값을 계산합니다.
- \(x^3+y^3\) 값 계산: 곱셈 공식 \(x^3+y^3 = (x+y)^3 – 3xy(x+y)\)를 이용하여 \(x^3+y^3\)의 값을 계산합니다.
- 부피 합 계산: 문제에서 요구하는 4개 정육면체의 부피 합 (\(2x^3 + 2y^3\))을 계산합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: [그림 1]의 넓이 합 \(S_1\) 계산
정사각형 A의 넓이는 \(x^2\), 정사각형 B의 넓이는 \(y^2\), 직사각형 C의 넓이는 \(xy\)입니다.
5개 도형의 넓이 합 \(S_1\)은 다음과 같습니다.
$$ S_1 = 2 \times (\text{Area A}) + 2 \times (\text{Area B}) + (\text{Area C}) $$
$$ S_1 = 2x^2 + 2y^2 + xy = 2(x^2 + y^2) + xy $$
Step 2: [그림 2]의 겉넓이 합 \(S_2\) 계산
정육면체 P의 겉넓이는 \(6x^2\), 정육면체 Q의 겉넓이는 \(6y^2\)입니다.
4개 정육면체의 겉넓이 합 \(S_2\)는 다음과 같습니다.
$$ S_2 = 2 \times (\text{Surface Area P}) + 2 \times (\text{Surface Area Q}) $$
$$ S_2 = 2(6x^2) + 2(6y^2) = 12x^2 + 12y^2 = 12(x^2 + y^2) $$
Step 3: 겉넓이 조건식 (\(S_2 = \frac{72}{13} S_1\)) 활용
주어진 조건 \(S_2 = \frac{72}{13} S_1\)에 Step 1과 Step 2의 결과를 대입합니다.
$$ 12(x^2 + y^2) = \frac{72}{13} (2(x^2 + y^2) + xy) $$
양변을 12로 나눕니다.
$$ x^2 + y^2 = \frac{6}{13} (2(x^2 + y^2) + xy) $$
양변에 13을 곱합니다.
$$ 13(x^2 + y^2) = 6(2(x^2 + y^2) + xy) $$
$$ 13x^2 + 13y^2 = 12(x^2 + y^2) + 6xy $$
$$ 13x^2 + 13y^2 = 12x^2 + 12y^2 + 6xy $$
정리하면 \(x^2 + y^2\)과 \(xy\) 사이의 관계식을 얻습니다.
$$ x^2 + y^2 = 6xy \quad \cdots (1) $$
Step 4: 모서리 길이 조건식 활용 (\(x+y\) 계산)
정육면체 P는 모서리가 12개이고 각 모서리 길이는 \(x\)이므로, 총 모서리 길이는 \(12x\)입니다. 마찬가지로 정육면체 Q의 총 모서리 길이는 \(12y\)입니다.
4개 정육면체의 모든 모서리 길이의 합은 다음과 같습니다.
$$ \text{Total Edge Length} = 2 \times (12x) + 2 \times (12y) = 24x + 24y = 24(x + y) $$
이 합이 480이므로,
$$ 24(x + y) = 480 $$
양변을 24로 나누면 \(x + y\)의 값을 얻습니다.
$$ x + y = \frac{480}{24} = 20 \quad \cdots (2) $$
Step 5: \(xy\) 값 계산
곱셈 공식 \((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\)를 이용합니다. 식 (1)에서 \(x^2 + y^2 = 6xy\)임을 알고 있으므로 대입합니다.
$$ (x + y)^2 = (6xy) + 2xy = 8xy $$
이제 식 (2)에서 구한 \(x + y = 20\)을 대입합니다.
$$ (20)^2 = 8xy $$
$$ 400 = 8xy $$
따라서 \(xy\)의 값은,
$$ xy = \frac{400}{8} = 50 \quad \cdots (3) $$
Step 6: \(x^3 + y^3\) 값 계산
곱셈 공식 \(x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y)\)를 이용합니다. 식 (2)와 (3)에서 구한 값을 대입합니다.
$$ x^3 + y^3 = (20)^3 – 3(50)(20) $$
$$ = 8000 – 150 \times 20 $$
$$ = 8000 – 3000 = 5000 $$
Step 7: 4개 정육면체의 부피 합 계산
정육면체 P의 부피는 \(x^3\), 정육면체 Q의 부피는 \(y^3\)입니다.
문제에서 요구하는 4개 정육면체의 부피 합은 다음과 같습니다.
$$ \text{Total Volume} = 2 \times (\text{Volume P}) + 2 \times (\text{Volume Q}) $$
$$ = 2x^3 + 2y^3 = 2(x^3 + y^3) $$
Step 6에서 구한 \(x^3 + y^3 = 5000\)을 대입합니다.
$$ \text{Total Volume} = 2(5000) = 10000 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 정사각형/직사각형의 넓이, 정육면체의 겉넓이/모서리 길이/부피 계산과 곱셈 공식의 활용을 결합한 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 기본 도형의 측정:
- 정사각형 (변 \(s\)): 넓이 = \(s^2\)
- 직사각형 (변 \(l, w\)): 넓이 = \(lw\)
- 정육면체 (변 \(s\)): 겉넓이 = \(6s^2\), 모든 모서리 길이 합 = \(12s\), 부피 = \(s^3\)
- 곱셈 공식 및 변형:
- \((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\)
- \(x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y)\)
- 문제 해결 절차: 문제의 조건을 수학적인 식으로 변환하고, 이 식들을 연립하여 필요한 값(예: \(x+y\), \(xy\), \(x^2+y^2\), \(x^3+y^3\))을 순차적으로 구한 후, 최종 목표 값을 계산하는 단계적인 접근 방식이 중요합니다.
도형 문제에서 주어진 길이, 넓이, 부피 등의 관계를 정확히 식으로 나타내고, 필요한 대수적 계산(특히 곱셈 공식 활용)을 통해 답을 도출하는 능력이 요구됩니다.
✅ 최종 정답
\(10000\)