📘 문제 이해 및 풀이 전략
두 실수 \(a, b\)에 대하여, 이차식 \(x^2 + 3x + 9\)가 복소수의 범위에서 \((x + a + bi)(x + a – bi)\)로 인수분해된다고 합니다. 이때 \(b^2 – a\)의 값을 구하는 문제입니다.
주어진 인수분해 형태는 \(x^2 + 3x + 9 = (x – (-a – bi))(x – (-a + bi))\) 로 볼 수 있습니다. 이는 이차방정식 \(x^2 + 3x + 9 = 0\)의 두 근이 \(-a – bi\)와 \(-a + bi\) (서로 켤레복소수)임을 의미합니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 이차방정식의 근 구하기: 이차방정식 \(x^2 + 3x + 9 = 0\)의 근을 근의 공식을 이용하여 구합니다.
- 근과 계수 비교: 구한 근을 주어진 근의 형태 \(-a \pm bi\) 와 비교하여 실수 \(a\)와 \(b\) (또는 \(b^2\))의 값을 찾습니다.
- \(b^2 – a\) 계산: 찾은 \(a\)와 \(b^2\)의 값을 이용하여 \(b^2 – a\)를 계산합니다.
관련 공식:
- 이차방정식 \(Ax^2 + Bx + C = 0\)의 근의 공식: \(x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 – 4AC}}{2A}\)
- 인수분해와 근의 관계: 이차방정식 \(Ax^2+Bx+C=0\)의 근이 \(\alpha, \beta\)일 때, \(Ax^2+Bx+C = A(x-\alpha)(x-\beta)\)
- 켤레복소수 근: 실수 계수를 갖는 이차방정식의 한 허근이 \(p+qi\)이면 다른 한 근은 켤레복소수인 \(p-qi\)입니다. (\(p, q\)는 실수, \(q \neq 0\))
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 이차방정식 \(x^2 + 3x + 9 = 0\)의 근 구하기
근의 공식을 이용하여 이차방정식 \(x^2 + 3x + 9 = 0\)의 근을 구합니다. 여기서는 \(A=1, B=3, C=9\)입니다.
$$ x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 – 4AC}}{2A} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 – 4(1)(9)}}{2(1)} $$
$$ = \frac{-3 \pm \sqrt{9 – 36}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} $$
\(\sqrt{-27} = \sqrt{27}i = 3\sqrt{3}i\) 이므로,
$$ x = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2} $$
따라서 두 근은 \(-\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i\) 와 \(-\frac{3}{2} – \frac{3\sqrt{3}}{2}i\) 입니다.
Step 2: 근과 인수분해 형태 비교하여 \(a, b\) 값 찾기
문제에서 주어진 인수분해는 \((x + a + bi)(x + a – bi)\) 입니다. 이는 이차방정식 \(x^2 + 3x + 9 = 0\)의 근이 \(-(a + bi) = -a – bi\) 와 \(-(a – bi) = -a + bi\) 임을 의미합니다.
Step 1에서 구한 두 근 \(-\frac{3}{2} \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}i\) 와 근의 형태 \(-a \pm bi\) 를 비교합니다.
실수 부분 비교: \(-a = -\frac{3}{2} \implies a = \frac{3}{2}\)
허수 부분 비교: \(\pm b = \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}\). 따라서 \(b = \frac{3\sqrt{3}}{2}\) (또는 \(b = -\frac{3\sqrt{3}}{2}\)) 입니다.
우리는 \(b^2\)의 값이 필요하므로 \(b\)의 부호는 중요하지 않습니다.
$$ b^2 = \left(\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(3\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{9 \times 3}{4} = \frac{27}{4} $$
(풀이 이미지에서는 \(b = \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}\) 로 바로 표현했습니다.)
Step 3: \(b^2 – a\) 값 계산
Step 2에서 구한 \(a = \frac{3}{2}\) 와 \(b^2 = \frac{27}{4}\) 를 이용하여 \(b^2 – a\)를 계산합니다.
$$ b^2 – a = \frac{27}{4} – \frac{3}{2} $$
통분하여 계산합니다.
$$ = \frac{27}{4} – \frac{3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{27}{4} – \frac{6}{4} $$
$$ = \frac{27 – 6}{4} = \frac{21}{4} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이차식의 복소수 범위에서의 인수분해와 이차방정식의 근 사이의 관계를 이용하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 이차식의 인수분해와 근: 이차식 \(Ax^2+Bx+C\)를 인수분해하는 것은 이차방정식 \(Ax^2+Bx+C=0\)의 근 \(\alpha, \beta\)를 찾는 것과 같습니다. 인수분해는 \(A(x-\alpha)(x-\beta)\) 형태로 이루어집니다.
- 실수 계수 이차방정식의 켤레근: 실수 계수를 갖는 이차방정식이 허근을 가질 경우, 두 근은 반드시 켤레복소수 관계입니다. 문제에서 주어진 인수분해 형태 \((x+a+bi)(x+a-bi)\)는 이러한 켤레근(\(-a-bi, -a+bi\))을 나타냅니다.
- 근의 공식을 이용한 복소수 근 구하기: 판별식 \(D=B^2-4AC\)가 음수인 경우, 근의 공식을 사용하면 복소수(허수) 형태의 근을 구할 수 있습니다.
- 계수 비교: 구해진 근의 형태와 문제에서 제시된 근의 형태를 비교하여 미지수(이 문제에서는 \(a, b\))의 값을 결정합니다.
근의 공식을 사용하여 복소수 근을 정확히 구하고, 이를 주어진 인수분해 형태와 비교하여 계수를 결정하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(b^2 – a = \frac{21}{4}\)
따라서 정답은 ④ 입니다.